Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

TEORÍA DE DIVSIBILIDAD PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Aritmética SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS DIVISIBILIDAD ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE EUCLIDES enteros; q (cociente) y r (residuo) tales que: DIVISIÓN INEXACTA: 
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  • La división es inexacta cuando el residuo es diferente de cero DIVISIÓN POR DEFECTO: D = d.q + rd DIVISIÓN POR EXCESO: D = d.(q + 1) re PROPIEDADES: 1. rd + re= d 2. rmáx = d 1 3. rmín = 1 Ejemplo: En una división entera inexacta el dividendo es menor que 912, el cociente por exceso es 12 y el residuo es 21. ¿Cuántos valores toma el divisor? Solución: q + 1 = 12 q = 11 D = d.q + r; donde 0 r < d D = d(11) + 21 < 912; 21 < d 21 < d < 81 d = 22, 23, 24 , . . . , 80. Por lo tanto # d = 59 DIVISIÓN EXACTA:(Divisibilidad): Se dice que la división entera es exacta, cuando el resto o residuo de la división, es cero. Es decir En este caso diremos que: D es divisible por d D es múltiplo de d d es divisor de D Observación: Denotaremos esto como o D= d PROPIEDADES 1) D = d.q 9) Si N = o o o a r b r c r O N = MCM(a,b,c) r Ejemplo: Halle el residuo por exceso al dividir (170512)50 por 17. Solución: (170512)50 = 17 x (17 2 )50 = 17 x 17 250 17 x (24 )12 . 22 17 x (17 1)12.4 17 x (17 1).4 17 x 17 4 17 x 17 13 17 x . Por lo tanto el residuo por exceso es 13. Ejemplo: ¿Cuál es el menor número que al ser dividido entre cualquiera de las cantidades: 7, 6, 5, 3 ó 2, deja un residuo máximo para cada divisor empleado? Solución: Sea N el menor número entero positivo, del dato: 7 6 7 1 6 5 6 1 5 4 5 1 (2,3,5,6,7) 1 210 1 3 2 3 1 2 1 2 1 N N MCM Por lo tanto el menor es 209. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR 2 : Última cifra es cero o cifra par. POR 3 : La suma de sus cifras es múltiplo de 3. POR 4 : Las dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. POR 5 : Última cifra es cero ó 5. POR 6 : Es divisible por 2 y por 3. POR 7 : de derecha a izquierda por los factores 1, 3, 2, 1, 3, 2, ... es múltiplo de 7 O O -2 -3-1 2 3 1 N a b c d e f 7 f + 3e + 2d - c - 3b - 2a = 7 POR 8 : Las tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. POR 9 : La suma de sus cifras es múltiplo de 9. POR 11: Diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar menos la suma de sus cifras de lugar par es múltiplo de 11. O O -1 1 -1 1 -1 1 N a b c d e f 11 (f + d + b) - (e + c + a) = 11 POR 13: de derecha a izquierda factores 1, 3, 4, 1, 3, 4... es múltiplo de 13. POR 33: El número abcdef es divisible por 33, si ab cd ef es múltiplo de 33. POR 99: El número abcdef es divisible por 99, si ab cd ef es múltiplo de 99. Ejemplo: Si 7x3yz = 55 y zx3 3 , hallar el mayor valor de (x + y). Solución: i) Z = 5 (Obvio) ii) 7x3y5 11 ; 5x3 3 15 (x y) 118 + x = 3 x y 11 4 2 + x = 3 7 8 1 47 Por lo tanto x + y = 15 N = a b c d e f f 3e 4d c + 3b + 4a = 13 o 4 3 -1 -4 -3 1 O O O O 0 1 4 1 0 2 4 2 0 3 4 3 0 4 4 3 5 3 3 3 5 4 3 3 5 2 3 3 5 1 3 RESTOS POTENCIALES Son los diversos residuos que se obtienen al dividir las diferentes potencias de una misma base entre un cierto número llamado módulo. Ejemplo. Calcule los restos potenciales de la base 3, respecto al módulo 5. Luego se tienen 4 residuos diferentes: 3, 4, 2 y 1 Ejemplo: Calcule el residuo por exceso de dividir 342358954521456550 por 5. Solución: o o o o o Del total de damas de una oficina 2/3, son morenas ,1/5 tienen ojos azules y un 1/6 son morenas con ojos azules, si el número de de damas es un número de la forma menor que 150 ¿Cuántos no son morenas ni tienen ojos azules? A)12 B) 24 C) 36 D) 28 E) 35 Reducir: A) m9 + 2 B)m9 + 8 C) m9 – 5 D) m9 – 4 E) m9 – 2 Calcular el residuo R, si se cumple: A) 2 B) 5 C) 7 D) 12 E) 15 Leonardo compra cierta cantidad de panes para su consumo, si los cuenta de 4 ; 5 y 6 dejan como residuos 3; 4 y 5 respectivamente. ¿Cuántos panes compró Leonardo? A) 60 B) 58 C) 59 D) 54 E) 55 A un número de 3 cifras se le resta el número que resulta al invertir el orden de sus cifras y se obtiene un Número de positivo y múltiplo de 8. ¿Cuántos números cumplen con dicha condición? A) 1 B) 10 C) 2 D) 9 E) 18 Si: determinar «M» si: 1000 < M < 2000 A) 1001 B) 1003 C) 1005 D) 1006 E) 1008 En la siguiente secuencia: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 400 ¿Cuántos son múltiplos de 5? ¿Cuántos son múltiplos de 3? ¿Cuántos son múltiplos de 15? ¿Cuántos no son múltiplos de 5 ni de 3? Dar como respuesta la suma de todos los resultados. A) 450 B) 451 C) 452 D) 453 E) 454 Del 1 al 2000, ¿Cuántos números son divisibles entre 13 pero no entre 7? A) 153 B) 150 C) 130 D) 131 E) 132 ¿Cuántos múltiplos de 3 y 19 hay entre 280 y 1 520? A) 26 B) 23 C) 22 D) 21 E) 18

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