Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

SUSTRACCIÓN ARITMÉTICA EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Sustracción Es una operación inversa a la adición , tal que dados dos números llamados minuendo y sustraendo hace corresponder un tercer número llamado diferencia, tal que sumando con el sustraendo de como resultado el minuendo. 
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  • Es decir M – S = D Donde M : minuendo S : sustraendo D : diferencia Ejemplo : Propiedades : ejemplo : La suma de los términos de una sustracción es 700. Hallar el sustraendo si es la quinta parte del minuendo. A) 60 B) 70 C) 81 D) 72 E) 69 Resolución: Por teoría sabemos que : M+S+D=2M Pero por dato : M+S+D=700 De todo lo anterior, se deduce que: 2M=700 M=350 Se desea el sustraendo, que por dato será: RPTA : ‘‘B’’ sustracción en sistemas de NUMERACIÓN DE BASES DIFERENTES A DIEZ Procedimiento : I) Cuando la resta entre cifras de la misma columna no es posible , entonces se agrega a la cifra del minuendo un número de unidades igual a la base que se efectúa la operación , con lo cual la resta es posible y la diferencia se escribe en la columna respectiva. II) al añadir la base a la cifra del minuendo , la cifra del orden inmediato superior disminuye en uno y nuevamente se hace la resta si es posible se hace normalmente , en caso contrario se prosigue como en el paso I. Ejemplo : Halle la diferencia de los siguientes números . Resolución: Se disponen los términos de manera vertical , para trabajar de acuerdo al orden : Finalmente , resultará : Otro Ejemplo: Propiedad : Sólo para números de 3 cifras , se cumple que : En general: (en cualquier base) Dado : donde : a > b Se cumple que : x + y = 9 EJEMPLOS : aplicación : Un número de tres cifras es tal que: . Si se sabe que la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos cifras. Hallar: a2+b 2+c2 A) 222 B) 150 C) 185 D) 146 E) 212 RESOLUCIÓN: Por propiedad: n=9 y m+3=9 m=6 Luego: piden : 82+12+92 =146 RPTA : “D” Complemento aritmético (C.A.) Se denomina complemento aritmético de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior , a su cifra de mayor orden. Ejemplos : En general : Sea el numeral N que tiene k cifras en base 10 Regla práctica «Se restan todas las cifras de nueve (9) , cifra máxima en base 10 , empezando por la izquierda , excepto la última cifra significativa , que se resta de (10) si el número termina en cero ó ceros , estos se escriben a la derecha de la última resta» Ejemplos : ‘‘Como se puede observar , se restan de nueve cuando los números están escritos en base 10, porque es la cifra máxima. cuando el número esté expresado en otro sistema de numeración, se restará de su cifra máxima , excepto la última cifra significativa que se restará del valor de la base’’ Ejemplos : Excedencia de un número (exc) Se denomina excedencia de un número a la diferencia entre en número dado y una unidad de su orden más elevado. En General : En forma práctica : Ejemplos : Excedencia de 18 = 18 –10 = 8 Excedencia de 326 = 326 – 100 = 226 Excedencia de 4753 = 4753 – 1000 = 3753 Representación Gráfica Sea : LEYES FORMALES DE LA SUSTRACCIÓN I) De Uniformidad : Si se resta miembro a miembro dos o más igualdades , el resultado es otra igualdad. II) De clausura (en ): La diferencia de dos números enteros es otro número entero. III) De Monotomía : IV) Si se restan miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, el resultado no puede anticiparse. pudiendo ser una desigualdad o igualdad. si : Los Naturales: Las operaciones suma (+) y multiplicación (×) son cerrados en , esto es + y × son operaciones binarias sobre Pero la siguiente ecuación no tiene solución en Es necesario definir a un conjunto más amplio que . Los Enteros: Las operaciones suma (+), multiplicación (×) y resta (–) son cerradas en, esto es +, × y – son operaciones binarias sobre . La ecuación (I) tiene solución en Problema 1: Hallar “a+b+c” ; A) 19 B) 20 C) 10 D) 30 E) 5 Resolución: Se deduce que: Se pide: 8+5+7=20 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 2 : Si: , calcule a+b A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 4 resolución : De: Luego: a+b=1+3=4 RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 3 : Un número de tres cifras diferentes es tal que la suma de sus cifras extremas es igual a la cifra central, y el número que se forma al invertir el orden de las cifras sobrepasa en 594 al número original. Entonces, las suma de las cifras del número buscado es: A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 RESOLUCIÓN: El número tendrá la siguiente forma: , donde: unidades: Tanteando adecuadamente, concluiremos que: Piden: 1+8+7=16 RPTA : “C” PROBLEMA 4 : Si: Calcular: CA (a+b+c+d) A) 14 B) 68 C) 72 D) 86 E) 88 RESOLUCIÓN: Por el método práctico del CA, plantearemos: RPTA :“D” PROBLEMA 5 : Si se cumple: Calcular el valor de “a” A) 6 B) 8 C) 5 D) 7 E) 9 RESOLUCIÓN: Por propiedad: Ahora de : Reemplazando en (a), en función de “n” : Finalmente de : RPTA : “D” PROBLEMA 6 : Calcular “a+b+c+d”, en: A) 21 B) 15 C) 14 D) 13 E) “A” ó “D” RESOLUCIÓN: De : Colocando verticalmente: Probemos para c=3 Queda descartado con : c=3 Ahora nos quedaremos con c=2 Luego hay 2 posibilidades: a+b+c+d=13 ó a+b+c+d=21 RPTA : “E” PROBLEMA 7 : Si: x+w=14 Calcular : a+x+y+z+w A) 25 B) 35 C) 30 D) 20 E) 20 RESOLUCIÓN: Por propiedad : 2y+14=18y=2 reemplazando el valor de “y”, se tendrá que : x=8 ; w=6 ; a=4 ; z=5 a+ x + y + z + w=25 RPTA : “A” PROBLEMA 8 : Hallar el complemento aritmético de: 8×10n–2+5×10n+2×10n+2 Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33 RESOLUCIÓN: Sea : N=8×10n–2+5×10n+2×10n+2 N=2×10n+2+5×10n+8×10n–2 Proviene de: Piden la suma de sus cifras, que será: 7+9+4+9+2+0+0+.........+0=31 RPTA : “C” PROBLEMA 9 : Calcular “a”, si: A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN: Se deduce , puesto que la suma de los CA, es 9284. Luego : 10+a+2(10a+1)+2(100a+10+a)=1816 Al resolver, resulta: a=8 RPTA : “E” PROBLEMA 10 : ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen tales que la suma de las cifras de su complemento aritmético sea 31? A) 25 B) 16 C) 5 D) 7 E) 39 Resolución: Sea abcda el número capicúa, luego : Según enunciado: 9 – a+9 – b+9 – c+9 – b+10 – a=31 2(a+b)+c=15 Se deduce que debe ser impar Luego tanteamos adecuadamente: Finalmente existen : 7+6+5+4+3=25 soluciones RPTA : “A” PROBLEMA 11 : Si : Calcular. “q” A) 1 B) 2 C) 0 D) 6 E) 8 RESOLUCIÓN: Como : m+n +p+q < 36 Ahora resultará que: Probemos: Si: Nos quedamos con: RPTA : “E” PROBLEMA 12 : Si : Calcular el máximo valor que puede asumir: E = m+ n+p A) 27 B) 26 C) 19 D) 17 E) 11 RESOLUCIÓN: Como nos piden el máximo de “E”, entonces escogemos a m=5, con lo que se deduce que p=3 (del 1er. Dato) ; faltando el valor de “n”, el cual debe de ser 9, para que: Emáximo=5+9+3 =17 RPTA : “D” PROBLEMA 13 : Si: Determinar : a + b + c A) 10 B) 13 C) 15 D) 18 E) 20 resolución: De : a – c=4a=c+4 Luego : b+b+1=13 b=6 También : 1+c+4+c=13c=4 a+b+c=8+6+4=18 RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 14 : ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y significativas existen tales que restados del que resulta de invertir el orden de sus cifras da un capicúa de 4 cifras? A) 9 B) 4 C) 12 D) 8 E) 15 resolución: plantearemos así: a; b; c; d son diferentes (a>d) luego : m=a – d=5 De : a – d = 5 ; b – c = 5 9 4 9 4 8 3 8 3 7 2 7 2 6 1 6 1 Los números son : 9834 8993 7942 6941 8724 8723 7832 6831 9614 8613 7612 6721 12 números RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 15 : Sabiendo que : además : Determinar el valor de ‘‘n’’: A) 15 B) 11 C) 14 D) 12 E) 13 resolución: De : Por Propiedad : x+z=n –1= y Luego : a+b+c+d=1+0+(n–2)+(n–1)=22 De donde : n=12 RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 16 : Si: Determinar: (c – b)Máx A) 5 B) 3 C) 7 D) 4 E) 6 resolución: De , se deduce: Luego analizando posibilidades: Se obtiene: (b – c)máx=6 RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 17 : Si al número se le resta el número invertido, se obtiene un numeral de 3 cifras cuya suma de cifras es 15. Determine a+b+n máximo. A) 8 B) 11 C) 13 D) 15 E) 19 resolución: De : a>b n+ b – a = z Luego : 15=3(n–1)n=6 máximos : Como : RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 18 : Si : Determinar: a2+ b2+ c2 A) 48 B) 34 C) 65 D) 50 E) 80 resolución: De : Por Propiedad =396 También: b=0 ; c=4 ; a=8 Se pide: a2+b2+c2=82+02+42= 80 RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 19 : Dada la siguiente sustracción: Determinar: m+n+p+q A) 18 B) 16 C) 15 D) 17 E) 14 resolución: Colocando verticalmente la sustracción: RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 20 : Si a un número de 3 cifras de la forma se le suma se obtiene Halle y , sabiendo que las cifras x , y , z están en P. A. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 resolución: De: Luego : z–x=8 Sólo : z=9 ; x =1 z ; y ; x están en P.A. RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 21 : Halle un numeral de 3 cifras en el cual se cumple que la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas, además la diferencia entre dicho número y el que resulta al invertir dicho número es Dé como respuesta la suma de las cifras de dicho número. A) 12 B) 13 C) 14 D) 18 E) 19 resolución: Sea : donde b= a+c Luego : a – c=7 Sólo : a+c=9=b ...(cifra impar ) Resolviendo : a=8 ; c=1 ; b=9 Suma de cifras 8 + 9 + 1=18 RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 22 : Sea : . Determinar : a×b×c si además: a+b+c=20 A) 212 B) 216 C) 222 D) 241 E) 253 resolución: De : Como a+b+c=20...(a=c+6) RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 23 : Si: , Determinar la suma de cifras de n. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 resolución: De : n+c – a=an+c=2a ...(I) Por propiedad : b=n–1 ... (II) También : a+c=n–1 ...(III) De (I) y (III) : Reemplazando en : Resolviendo : n=11 suma de cifras=2 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 24 : ¿En qué sistema de numeración se cumple que, 201– 45 = 112? A) en base 8 B) en base 7 C) en base 9 D) en base 6 E) en base 11 reSOLUCIÓN: Veamos RPTA : ‘‘d’’ Usando todas las cifras del sistema decimal se forman 2 numerales (N y M) de 5 cifras. Si N es el mayor posible y M el menor posible, calcule N – M. De la suma de cifras. A) 20 B) 22 C) 17 D) 24 E) 25 Si: . Calcule a+b A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 4 Hallar “a+b+c” ; A) 19 B) 20 C) 10 D) 30 E) 5 Si: A+B+C=30 ; A=CA (95) ; B=CA (88) Calcular el valor de “C” A) 17 B) 15 C) 13 D) 11 E) 9 Greysi utiliza una calculadora para efectuar la operación. Pero por error en lugar de la cifra 7 pone la cifra 9. Calcule en cuánto se equivocó en resultado. A) 182 B) 1767 C) 172 D) 160 E) 150 Si se cumple: Calcular el valor de “a” A) 6 B) 8 C) 5 D) 7 E) 9 Si: Calcular: CA (a+b+c+d) A) 14 B) 68 C) 72 D) 86 E) 88 Un número de tres cifras diferentes es tal que la suma de sus cifras extremas es igual a la cifra central, y el número que se forma al invertir el orden de las cifras sobrepasa en 594 al número original. Entonces, las suma de las cifras del número buscado es: A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 Si: Determinar : a + b + c A) 10 B) 13 C) 15 D) 18 E) 20 Si : Calcular el máximo valor que puede asumir: E = m+ n+p A) 27 B) 26 C) 19 D) 17 E) 11 Si : Calcular. “q” A) 1 B) 2 C) 0 D) 6 E) 8 ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen tales que la suma de las cifras de su complemento aritmético sea 31? A) 25 B) 16 C) 5 D) 7 E) 39 Calcular “a”, si: A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Hallar el complemento aritmético de: 8×10n–2+5×10n+2×10n+2 Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33 Si: x+w=14 Calcular : a+x+y+z+w A) 25 B) 35 C) 30 D) 20 E) 20 Calcular “a+b+c+d” : A) 21 B) 15 C) 14 D) 13 E) “A” ó “D” Si: , Determinar la suma de cifras de n. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Sea : . Determinar abc , si además: a+b+c=20 A) 212 B) 216 C) 222 D) 241 E) 253 Halle un numeral de 3 cifras en el cual se cumple que la cifra central es igual a la suma de las cifras extremas, además la diferencia entre dicho número y el que resulta al invertir dicho número es Dé como respuesta la suma de las cifras de dicho número. A) 12 B) 13 C) 14 D) 18 E) 19 Si a un número de 3 cifras de la forma se le suma se obtiene Halle y , sabiendo que las cifras x , y , z están en P. A. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Dada la siguiente sustracción: Determinar: m+n+p+q A) 18 B) 16 C) 15 D) 17 E) 14 Si : Determinar: a2+ b2+ c2 A) 48 B) 34 C) 65 D) 50 E) 80 Si al número se le resta el número invertido, se obtiene un numeral de 3 cifras cuya suma de cifras es 15. Determine a+b+n máximo. A) 8 B) 11 C) 13 D) 15 E) 19 Si: Determinar: (c – b)Máx A) 5 B) 3 C) 7 D) 4 E) 6

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