Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

RAZONES Y PROPORCIONES PROBLEMAS RESUELTOS PARA PREUNIVERSITARIOS

RAZÓN Es la comparación que se establece entre dos cantidades de unamagnitud ;mediante las operaciones de sustracción o división. Si dicha comparación se realiza por sustracción se llama Razón Aritmética
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  •  , pero si se realiza mediante una división se llama razón Geométrica. EJEMPLO 1 : Luis y Roxana son aficionados al atletismo. Deciden hacer una competencia y observan que cuando Luis recorre 25 m , Roxana recorre 35 metros. Basados en este ejemplo, podemos afirmar que: * Roxana recorre 10 m más que Luis. Para llegar a esta conclusión hemos efectuado una comparación por sustracción. A este tipo de comparación le llamaremos razón aritmética. 30  21 = 9 Valor de la razón aritmética Antecedente consecuente * Si nosotros efectuamos la división entre las distancias recorridas por Roxana y Luis obtendremos: 35 7 25 5 consecuente = Antecedente valor de la razón y podemos afirmar que: * La rapidez de Roxana y la de Luis están en la relación de 7 a 5. * La rapidez de Roxana es como 7 y la de Luis es como 5. * La rapidez de Roxana es 2/5 más que la de Luis. 249 EJEMPLO 2 : 300 km/h 400 km/h B A Comparando sus velocidades se puede afirma que: La velocidad de A excede a la velocidad de B en 100 km/h NOTA: A esta forma de comparar (por sustracción) llamaremos Razón Aritmética donde: •La 1ra. cantidad: 400 llamaremos Antecedente. •La 2da. cantidad: 300 llamaremos Consecuente. •El resultado: 100 llamaremos el valor de la Razón Aritmética. INTERPRETACIÓN : •La velocidad del avión A excede a la del avión B en 100 km/h. •En cada hora el avión A avanza 100 km más de lo que avanzó el avión B Al comparar las velocidades tenemos también: 400 km/ h 100 100 100 100 km/ h km/ h km/ h km/ h  < >4veces km/h 300 km/ h 100 100 100 km/ h km/ h km/ h  < > 3 veces km/h NOTA: A esta (forma de comparar (por división) llamaremos Razón Geométrica donde: •La 1ra. cantidad: 400 llamaremos Antecedente. •La 2da. cantidadd: 300 llamaremos Consecuente. •El resultado: 400 4 300 3  llamaremos el valor de la Razón Geométrica. INTERPRETACIÓN : •Las velocidades del avión A y B son entre sí como 4 es a 3 porque: 400 = 400 × 100 300 = 3 × 100 •Las velocidades de los aviones A y B están en la relación de 4 a 3 •En cada hora, por cada 4 km que avanza el avión A, el avión B avanza 3 km. CLASES DE RAZÓN I) RAZÓN ARITMÉTICA (R.A.) : Es la que se obtienemediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. EJEMPLO 1: Los automóviles A y B se desplazan con velocidad de 24 m/ y 20m/s respectivamente, comparemos sus velocidades: ó é ó Valor de Raz n Aritm tica Raz n Antecedente Consecuente 24 m/s 20 m/s = 4 m/s      INTERPRETACIÓN : La velocidad del automóvil ‘‘A’’ excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil ‘‘B’’. EJEMPLO 2: Sean los pesos de Wendy y Cecy 30 kg y 21 Kg. La razón aritmética de sus pesos es: 30 – 21 = 9 Antecedente Consecuente Valor de la R. A. * Podemos afirmar que el peso deWendy excede o es mayor en 9 kg al peso de Cecy . II) RAZÓN GEOMÉTRICA (R.G.) : Es la que se obtienemediante la división y consiste en determinar cuantas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia. EJEMPLO 1 : Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden): Razón Geométrica Antecedente 48m 4 = Consecuente 36m 3 Valor de la razón     250 INTERPRETACIÓN : * Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3, porque: * Altura de M: 4 (12 m), Donde: 12 es la unidad de referencia * Altura de N: 3(12 m) * Por cada 4 unidades de 48mhay 3 unidades de 36m. * Las alturas de los edificios My N están en la relación de 4 a 3. EJEMPLO 2: La producción de una fotocopiadora es de 4200 copias por hora y la de una impresora es de 900 hojas impresas por hora. La razón geométrica de sus producciones por hora es: Antecedente 4200 14 = Consecuente 900 3 valor de la R.G.    * Podemos afirmar que la producción de la fotocopiadora (4200=14×300) y la producción de la impresora(900=3×300) están en la relación, son entre sí o son proporcionales a 14 y 3 respectivamente. * La R.G., es más aplicable para una variedad de problemas, por ello en algunos problemas cuando sólo semenciona la razón, quedará sobreentendido que se trata de la R.G. EN GENERAL : Sean las cantidades a y b. Razón Aritmética Razón Geométrica ab k Donde: a : Antecedente b : Consecuente k : Valor de la razón Aritmética r : Valor de la razón Geométrica a =r b a=bk NOTA: Cuando se menciona solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón geométrica. PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. CLASES DE PROPORCIÓN I) PROPORCIÓN ARITMÉTICA : Es aquella que se forma al igualar a los valores numéricos de dos razones aritméticas . EJEMPLO 1: Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/. 15; S/. 13 ; S/. 9 ; S/. 7 . los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15 S/.13= S/.2 S/.15 S/.13=S/.9 S/.7 S/.9 S/.7 =S/.2        Términos Extremos Términos Medios : Dos quintos es la razón geométrica de la edad que yo tenía hace 15 años y la edad que tú tendrás cuando yo tenga el cuádruple de la edad que tú tienes y que numéricamente es igual a la edad que ahora tengo. ¿Cuál será la relación de nuestras edades dentro de 15 años? a) 7/5 b) 7/3 c) 11/6 d) 8/5 e) 8/3 Se presentan “n” ingenieros electrónicos por un cupo de dos vacantes, En el examen de selección ocurrió lo siguiente: en el examen de conocimiento los seleccionados con los no seleccionados se encuentran en razón de 2 a 7, de los seleccionados pasaron por un examen de cultura y psicotécnico siendo la relación de los aprobados a los no aprobados de 1 a 3 y de los aprobados pasaron a entrevista personal, con lo cual la empresa consiguió sus ingenieros que están en relación con los que no pasaron la entrevista como 1 es a 5. Calcular “n” a) 162 b) 324 c) 216 d) 168 e) 108 En una proporción geométrica continua, la mayor diferencia positiva que existe entre 2 de sus términos es igual a la menor suma que se tiene entre 2 de ellos; si el extremo mayor excede en 6 a la media proporcional. Hallar el extremo menor. a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 5 En una proporción geométrica discreta a la media aritmética de los antecedentes es 2 y la suma de la media geométrica de los términos de la primera razón y la media geométrica de los términos de la primera razón y la media geométrica de los términos de la segunda de los términos de la segunda razón es 16. Hallar la media aritmética de los consecuentes. a) 15 b) 22,5 c) 32 d) 40 e) 45 Se tiene tres cestos de manzanas , cuyo número de manzanas que contienen están en la relación de 4 ; 7 y 5. Se pasa “a” manzanas del 1° al 2°, de éste se saca “b” manzanas y se colocan en la 3° cesta quedando que el número de manzanas que contiene cada una están en la relación de 5;10 y 9. Determinar el número de manzanas que contiene la 2da cesta si (a+b) es 10. a) 30 b) 24 c) 42 d) 40 e) 36

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