NÚMEROS PRIMOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Clasificación de los Números Enteros Positivos Dado el conjunto numérico: + = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... } Los números que conforman el conjunto pueden ser clasificados teniendo en cuenta alguna característica que presenten en particular, como por ejemplo, el de la propiedad (por su divisibilidad entre dos ), se tiene: 
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  • Números pares: {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; ...} Números impares: {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ...} En general podemos afirmar que: En este capítulo vamos a considerar la «cantidad de divisores enteros positivos» que tiene cada uno número. Encontremos los divisores de algunos números del conjunto: Se puede observar que: * La unidad, es el único número que posee un solo divisor. * Hay números que poseen sólo dos divisores, a los cuales se les denomina números primos. * Al conjunto de números conformados por la unidad y los números primos, se denominan números simples. * 2; 3; 5; 7; 11,... tiene sólo dos divisores * 4; 6; 8; 10; 12;.......tienen más de dos divisores * Simples : {1 ; 2; 3; 5; 7; 11...} * Compuestos: {4;6;8;9;10;12; ...} 1) NÚMEROS SIMPLES : a) La Unidad : Es el número entero positivo que tiene tan sólo un divisor. Ejemplo : b) Los números primos o primos absolutos : Son todos aquellos números enteros positivos que tienen únicamente dos divisores: La unidad y el mismo número. Los números primos son: 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; .... 2) NÚMEROS COMPUESTOS : Son todos aquellos números enteros positivos que tienen más de dos divisores, los números compuestos son: 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15 ; 16 ; 18 ; 20 ; 21 ; 22 ; 24 ; 25 ; 26 ; 27 ; 28 ; ... OBSERVACION : * Existe una cantidad ilimitada de números primos. * El único número primo par que existe es el número 2. * Los únicos números primos consecutivos son el 2 y el 3. * Todo número primo es: * Todo número primo es: * Todo número compuesto, posee una cantidad de divisores simples y divisores compuestos. Ejemplos : * Divisores simples de 12 son 1; 2:3 * Divisores compuestos de 12 son: 4 ; 6 ;12 En general: Sea el número N donde: CDN: cantidad de divisores de N. CDSN: cantidad de divisores simples de N CDCN: cantidad de divisores compuestos de N Se cumple: NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Dado el conjunto de dos o más números ; se dice que son primos entre si (PESI) Cuando tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo 1 : Sean los números 8 y 15 Como la unidad es el único divisor común 8 y 15 son PESI Ejemplo 2 : Sean los números 10 ; 12 ;15 Como la unidad es el único divisor común 10; 12 y 15 son PESI Ejemplo 3 : Sean los números 9, 12, y 15 Como tiene dos divisores comunes 9; 12 y 15 NO SON PESI. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 2 A 2 (PESI 2 A 2) Dado un conjunto de 3 o más números se dice que son PESI 2 a 2 cuando al ser tomados de 2 en 2 todas las parejas resultan ser PESI. Ejemplo 1 : Sean los números 8 ; 9 y 25 Agrupando de dos en dos: 8 y 9 son PESI 8 y 25 son PESI 9 y 25 son PESI Como todas las parejas son PESI 8; 9 y 25 son PESI 2 a 2 Ejemplo 2 : Sean los números 10; 21 y 27 Agrupando de dos en dos: 10 y 21 son PESI 10 y 27 son PESI 21 y 27 no son PESI Como una de las parejas no son PESI. 10; 21 y 27 no son PESI. 2 a 2 Ejemplo 3 : ¿Son primos entre sí los números 8 y 12 ? NO. Porque además de la unidad tienen como divisor común el 2 y el 4. (Recuerde porque los números 8 y 12 son divisibles por 2 y por 4.) ¿Son primos entre sí el 9 y el 20 ? Sí, porque sólo tienen como divisor común la unidad. NOTA : Si un conjunto de números son PESI. 2 a 2, entonces siempre serán PESI; lo contrario no siempre se cumple. Tabla de los números primos menores que 100 Para construir una tabla de números primos se procede de la siguiente manera: Se escribe todos los números del 1 al número deseado, en este caso hasta el número 100. A partir del 2 que se deja, se tacha (/) su cuadrado 4 y a partir de 4 se van tachando de dos en dos lugares los siguientes números o múltiplos de 2. A partir del 3, que se deja, se tacha (/) su cuadrado 9 y luego se tachan de tres lugares los números siguientes o múltiplos de 3. A partir de 5 ;7 ;11 y los siguientes números primos, se procede de la misma manera: se dejan esos números, se tachan sus cuadrados y a partir de éstos se tachan los números siguientes de tantos en tantos lugares como unidades tenga el número primo que se tache. La operación termina al llegar al número primo cuyo cuadrado queda fuera del límite o número mayor de la tabla. Los números primos son los que quedan sin tachar. El número 1 no está incluido en el conjunto de los Números Primos porque solamente es divisible por sí mismo. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO * Se extrae la raíz cuadrada al número dado si es exacta, se determina que el número no es primo. * Caso contrario, se considera todos los números primos menores o iguales que la parte entera a la raíz . * Se divide de menor a mayor el número dado entre cada número primo considerando * Si en dichas divisiones, se obtiene al menos una exacta, el número no es primo. * Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo. Ejemplo 1 : Determine si el número 193 es un número primo. Resolución : Números primos 14; 2; 3; 5; 7; 11; 13 Comparando 193 con cada uno de los números primos considerando. Como en ningún caso las divisiones son exactos, entonces 193 es número primo. Ejemplo 2 : Determine si el número 221 es un número primo. Resolución : Números primos menores o iguales a 14 son 2; 3; 5; 7; 11; 13. Comparando cada uno de estos números primos considerando. Como 221 es múltiplo de 13, indica que 221 tiene factor 13 por lo que 221 no es un número primo. Ejemplo 3 : ¿Es 323 un número primo? Resolución : Se deberá probar la divisibilidad de 323 entre: 2; 3; 5; 7; 11; 13 y 17. Se observa que 323 es divisible entre 17: 323 =17×19 Por lo tanto: 323 no es un número primo. Ejemplo 4 : ¿667 es un número primo? Resolución : Paso 1: Paso 2 Paso 3 667 = 23 × 29 Como la división de 667 entre 23 es exacta, entonces 667 no es un número primo. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA «Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos , esta representación es única y se le denomina «descomposición canónica del número» (D. C.) Ejemplo 1 : Descomponer canónicamente 1800 Resolución : Ejemplo 2 : Descomponer canónicamente el número 1400 Resolución : Ejemplo 3 : Indique la descomposición canónica de los siguientes números 60 ; 1 800 ; 2 800 ; 273 000. Resolución : Primos: 2; 3; 5; 7 y 13 OBSERVACION : Los divisores primos de un número se observa en su descomposición canónica. En general: Si la descomposición canónicamente de: Donde: a, b , c......:Números primos diferentes ......:Números enteros positivos EsTUDIO DE LOS DIViSORES DE UN NÚMERO I) TABLA DE DIVisores : Ejemplo 1 : Elaborar una tabla de los divisores de: 200 Resolución : 200 = 23 × 52 Ejemplo 2 : Sea el número 72 Divisores de 23: 1; 3; 4; B Divisores de 32: 1; 9 ; 9 II) CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO (C.D.) : Un método práctico para determinar la cantidad de divisores de un número, es utilizando su descomposición canónica: Ejemplo 1: Determinar la cantidad de divisores de 120 Resolución : Ejemplo 2 : Determinar C. D. (1800) Resolución : Sabemos que: EN GENERAL : Sea:Descompuesto Canónicamente a, b y c son números primos diferentes son números enteros positivos Luego: Cantidad de divisores de (CDN) Ejemplo 3 : 72 = 23 × 32 ...(descomposición canónica) CD72 = (3 + 1)(2 + 1) = 12 360 = 23 ×32 ×51...(descomposición canónica) CD360 = (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 24 NOTA : CD72 = 12 CDPRIMOS DE 72 : 2 CDSIMPLES DE 72 : 2 + 1 = 3 CDCOMPUESTOS = 12 – 3 = 9 Luego: III) Suma de divisores (SDN) : Ejemplo 1 : Para el número 18; la suma de sus divisores es: Ejemplo 2 : Para el número 135; la suma de sus divisores es: En general: Sea: IV) Suma de inversas de los divisores (SID): Ejemplo 1 : Calcule la suma de las inversas de los divisores de 30. Resolución : Analizando sus divisores: En general : Ejemplo 2 : Calcule la SID de 200. Resolución : 200 = 23×52 sus divisores son: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100 y 200. Sumando sus inversas: V) producto de divisores (PDN) : Ejemplo 1 : Sea el número 18 Donde 6 es la cantidad de divisores de 18 . Ejemplo 2 : Sea el número 81. Donde 5 es la cantidad de divisores de 81. En general : Para N: problema 1 : ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 7? 13(7) ; 31(7) ; 61(7) ; 25(7) ; A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 resolución : Convirtiendo a base 10 , tenemos: 13(7) = 10 31(7) = 22 61(7) = 43 25(7) = 19 Los números primos absolutos serán: 43 y 19...(2 números primos) rpta : “c” problema 2 : ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 11? 13(11) ; 31(11) ; 61(11) ; 29(11) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 resolución : Un número primo en base 10 es primo en cualquier otra base. Luego: 13 (11) = 14...No es número primo. 31 (11) = 34...No es número primo. 61 (11) = 67...Si es número primo. 29 (11) = 31...Si es número primo. rpta : “a” problema 3 : ¿Cuántos divisores tiene el número 914 760? A) 182 B) 178 C) 194 D) 196 E) 192 resolución : Descomponiendo canónicamente: 914760 = 23 × 33× 51 ×71 ×112 Entonces: CD (914760)=(3 +1) (3+1) (1+1) (1 +1)(2 +1) = 192 rpta : “e” problema 4 : ¿Cuántos divisores menos tiene el número 360 que el número 1 800? A) 12 B) 24 C) 6 D) 10 E) 5 resolución : Descomponiendo canónicamente: 360 = 23×32×5ÞCD(360)= (3+1) (2+1)(1+ 1) = 24 1800 =23×32×52 ÞCD(1800)=3+1)(2+1)(2+ 1) = 36 Entonces 360 tiene 36 – 24 = 12 divisores menos que 1800. rpta : “a” problema 5 : ¿Cuántos divisores más tiene 1203 que 643? A) 47 B) 59 C) 63 D) 141 E) 99 resolución : Descomponiendo canónicamente: 1203 = 29×33×53 Þ= (9 + 1) (3 + 1)(3 + 1) = 160 643 = 218Þ= (18 +1) = 19 Entonces 1203 tiene 160 –19 = 141 divisores más que 643. rpta : “d” problema 6 : Entre los números 180; 756 y 900, ¿Cuál es el que tiene tantos divisores como 360? A) 900 B)Ninguno C) 180 D) 756 E) Todos resolución : Calculemos el número de divisores: Como: El único que tiene divisores como 360 es 756. rpta : “d” problema 7 : Determinar el valor de n, si M = 12×15n tiene 60 divisores. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 resolución : Descomponiendo canónicamente a «M»: rpta : “c” problema 8 : Si: N = 15×30n tiene 294 divisores. Hallar «n». A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 resolución : Haciendo la descomposición canónica de 15 × 30n se tiene: 15×30n = 3×5 (2×3×5)n = 3×5×2n×3n×5n = 2n×3n×5n +1 CD(N) = (n + 1) (n + 2)2 Por dato del problema se tiene que: Igualando factores se puede obtener que «n» tomará el valor de 5. rpta : “c” problema 9 : ¿Cuántos números de la forma son primos absolutos menores que 329? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 resolución : Si < 329 es primo, entonces a{1; 3}. Si a = 1 entonces Si a = 3 entonces En total existen 6 números primos. rpta : “d” problema 10 : De los siguientes números: Determine cuántos números son compuestos. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 resolución : Números Compuestos: más de dos divisores Total de números compuestos: 4 rpta : “d” problema 11 : La suma de las inversas de todos los divisores de 360 es: A) 2,2 B) 2,8 C) 2,1 D) 2,50 E) 3,25 resolución : Descomponiendo: Sabemos que: rpta : “e” problema 12 : Sea N = 3y × 5Z , Al dividir N entre 3 se suprimen 6 divisores, al dividir N entre 5 se suprimen 4 divisores. Hallar y + z. A) 10 B) 6 C) 8 D) 5 E) 7 resolución : Por condición se tiene: Del enunciado: Se pide: y + z = 3 + 5 = 8 rpta : “c” ¿Cuántos divisores tiene el número 360? A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28 ¿Cuántos divisores tiene el número 25600? A) 29 B) 30 C) 33 D) 35 E) 39 ¿Cuántos divisores tiene el número 12400? A) 29 B) 30 C) 34 D) 36 E) 42 Dado el número N = 25×32×72 Calcular: a) Cantidad de divisores. b) Cantidad de divisores primos. c) Cantidad de divisores simples. d) Cantidad de divisores compuestos. e) cantidad de divisores propios. E indicar la suma de de todos los resultados. A) 164 B) 180 C) 93 D) 203 E) 304 Dado el número M = 25×32×113 Calcular: a) Cantidad de divisores. b) Cantidad de divisores primos. c) Cantidad de divisores simples. d) Cantidad de divisores compuestos. e) cantidad de divisores propios. e indicar la suma de todos los resultados A) 300 B) 301 C) 303 D) 218 E) 172 Sea: a= cantidad de divisores de 240. b=cantidad de divisores de 540. Calcular: «a + b» A) 41 B) 48 C) 45 D) 42 E) 44 Calcular la suma de divisores compuestos de 60. A) 159 B) 155 C) 163 D) 162 E) 166 Si: A = 2n × 33×54, tiene 100 divisores. Calcular «n» A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Si:N = 2×34×5n ×7, tiene 60 divisores Calcular «n» A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Si: M = 23×7×114n, tiene 40 divisores. determinar «n» A)2 B) 1 C) 4 D) 6 E) 8 Determinar el número de divisores de 318. A)16 B) 20 C) 4 D) 25 E) 8 Determinar el número de divisores compuestos de 312. A) 10 B) 18 C) 15 D) 12 E) 20 «N» es igual al producto de tres factores primos. ¿Cuántos divisores tiene N3 ? A) 64 B) 27 C) 72 D) 60 E) 35 ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene 2160? A)6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 4 Determinar el menor número por el cual hay que multiplicar a 3 520 para convertirle a un cuadrado perfecto. A) 70 B) 60 C) 55 D) 65 E) 80 Determinar el número de divisores de 40. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 ¿Cuántos divisores de 30 son números primos? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ¿Cuántos números primos hay entre 15 y 45? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Determinar el mayor número primo comprendido entre 50 y 60. A) 53 B) 56 C) 57 D) 59 E) 52 ¿Cuántos divisores tiene el número 1 200? A) 28 B) 29 C) 31 D) 30 E) 32 Hallar la suma de todos los números primos comprendidos entre 1 y 30. A) 61 B) 68 C) 71 D) 129 E) 131 ¿Cuántos divisores menos tiene el número 56 que el número 80? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ¿Cuántos divisores menos tiene A que B si: A = 2 × 32 × 5 y B = 3 × 52 × 72 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Determinar el número de divisores de 2520. A) 24 B) 36 C) 48 D) 20 E) 52 Entre los números 360 ; 270 y 180. ¿Cuál es el que tiene tantos divisores como 520? A) 360 B) 270 C) 180 D) Ninguno E) Todos ¿Cuántos divisores de 84, tienen dos cifras? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ¿Cuántos divisores de 150, son múltiplos de 5? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 La suma de los divisores de 35 es: A) 36 B) 42 C) 48 D) 45 E) 54 ¿Cuál de los siguientes números no es primo? 12(5) ; 21(5) ; 32(5) ; 43(5) ; 52(5) A) 12(5) B) 21(5) C) 32(5) D) 43(5) E) 52(5) ¿Cuántos divisores múltiplos de 5 tiene el número 130? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Si 12n×8 tiene 60 divisores, ¿cuánto vale “n”? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ¿Cuántos divisores de 72 tienen raíz cuadrada exacta ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 De todos los números que dividen exactamente a 56 . ¿Cuántos son pares? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Si “3n – 2” nos da números primos para “n” natural, obtener el primer número primo a partir de dicha fórmula. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Si W×10a tiene 27 divisores, hallar cuántas cifras tiene W. A) 9 B) 7 C) 6 D) 3 E) 8 ¿Cuántos ceros debe tener W = 200...0, para que admita 56 divisores? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Si “W” tiene 1369 divisores, deteminar el valor de “n” , donde: W = 10×102×103×....×10n A) 10 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene el número 720? A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 18 ¿Cuántos divisores de 90 son números primos? A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 ¿Cuál de los siguientes números es primo? 35(7) ; 24(7) ; 52(7) ; 64(7) ; 36(7) A) 35(7) B) 24(7) C) 52(7) D) 64(7) E) 36(7)

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