Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

NUMERACION PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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  • Denominamos Numeración al capítulo de la Aritmética que estudia la correcta formación, lectura y escritura de los números. Número Es la idea que tenemos sobre la cantidad de los elementos de la naturaleza. Numeral Es la representación figurativa del número mediante un conjunto de símbolos. Cifra (Dígito) Son los símbolos que convencionalmente utilizamos para escribir los numerales; es decir: 0; 1; 2; 3; 4; ... SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto de normas, leyes, principios, reglas y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números. Base de un Sistema de Numeración Es un número natural mayor que la unidad e indica la cantidad de cifras que se emplean para escribir a todos los números en dicho sistema de numeración. Observación En un sistema de numeración de base «n»; con «n» unidades de cualquier orden, se puede formar una unidad de orden inmediato superior. En los sistemas mayores que la base 10, convencionalmente se ha establecido lo siguiente: La cifra 10 se denota por α o A La cifra 11 se denota por β o B La cifra 12 se denota por γ o C UNIDAD 9 Numeración Clasificación de los Principales Sistemas de Numeración Base Sistema de Cifras o Dígitos Numeración 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9 11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α 12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α ; β 13 Trece-esimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α ; β ; γ    n Enesimal 0; 1; 2; 3; .....................; (n – 1) Representación literal de un numeral Consiste en representar a las cifras de un numeral por letras minúsculas, teniendo en cuenta que toda expresión entre paréntesis representa una cifra. Números de dos cifras: En base 10: ab = 10, 11, 12, ........, 99 En base 6: ab 6 = 106, 116, 126, ......., 556 Consecutivas: (n)(n + 1) : 12; 23; 34; ...... Números de tres cifras: En base 10: abc = 100, 101, ......., 999 En base 9: abc 9= 1009, 1019, ........., 8889 )(2a) 2 a(a : 214; 428; .... Número Capicúa Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes son iguales. aba : 101; 323; 454; ... abba :1001; 5885; ... Aplicación: Hallar un número de 3 cifras tal que la 1ra. sea los 3/5 de la 3ra. cifra, y la 2da. cifra la semisuma de las otras 2. Nº: abc c 5 3 a = 5a = 3c 2 b = a + c b = 4 abc = 345 Valor Absoluto y Valor Relativo de una cifra Toda cifra en un numeral tiene dos valores: valor absoluto y valor relativo. Descomposición Polinómica: Es la suma de los valores relativos de un numeral.    = = c 5 a 3 Valor Abs.: 2 Valor Abs.: 4 Valor Relat.: 40 Valor Relat.: 200 VALOR ABSOLUTO. Es el valor que representa la cifra por su forma o símbolo. VALOR RELATIVO. Es el que adopta la cifra por su orden dentro del numeral. Ejemplo: 5247 = 5000 + 200 + 40 + 7 = 5.103 + 2.102 + 4.101 + 7 3246 = 3.62 + 2.61 + 4 13579 = 1.93 + 3.92 + 5.91 + 7 En general: abcden = axn4 + bxn3 + cxn2 + dxn1 + e abc = 100a +10b + c ab = 10a + b APLICACIÓN Hallar un número de 2 cifras que si es leído al revés, es el doble del número que sigue al original. N = ab ba = 2( ab +1) 10b + a = 2(10a + b + 1) 10b + a = 20a + 2b + 2 8b – 2 = 19a 2(4b – 1) = 19 a ab = 25    = = b 5 a 2 DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA EN BLOQUE: Ejemplo: abab abx10 ab 101ab = 2 + = n n 2 ababn = 101n.ab = (n +1)ab n n 3 abcabc n = 1001nabc = (n +1).abc APLICACIÓN: Si: abcd = 2.ab.cd Hallar: a + b + c + d. Descomponiendo en bloque: ab.102 + cd = 2.ab.cd 100 ab = 2.ab.cd- cd 25 . 4 . ab = cd (2 ab -1) 2 x ab - 1 = 25 ab = 13 y 4 ab = cd cd = 52 a + b + c + d = 1 CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN: 1er CASO: De base «n» a base 10 Método: Descomposición Polinómica Ejemplo: Convertir 3421(5) a base 10 3421(5) = 3.53 + 4.52 + 2.51 + 1 3421(5) = 486  13  375  100  11 2do CASO: De base 10 a base «n» Método: Divisiones Sucesivas Ejemplo: Convertir 265 a base 5. Se divide sucesivamente entre 5 formando el último cociente y los residuos hallados. 265 = 20305 3er Caso: De base «m» a base «n» (n y m ≠ 10) Método: Indirecto I. El numeral en base «m» se convierte a base decimal. II. Seguidamente el resultado se convierte a base «n». Ejemplo: Convertir 4327 a base 9. I. 4327 = 4.72 + 3.7 + 2 = 196 + 21 + 2 = 219 II. 219 a base 9. 219 9 OBSERVACIONES: Las cifras empleadas en un sistema de numeración son siempre menores que la base. Ejemplo: 3a2b(8) Siendo a y b < 8 2c08(n) Siendo c < n Si un número se expresa en dos Sistemas distintos; en la representación: 3 24 9 6 2 4327 = 2639 APLICACIÓN: Si: 203(n) = 104(m) ; n < m aob(8) = boa ; a > b Bases Sucesivas Condición: Que sean numerales de 2 cifras y que su primera cifra sea 1: n + a + b + c +………. + z APLICACIÓN: Si los siguientes numerales están correctamente escritos: 31m(4) ; 21n(m) ; pp0(n) ; Hallar: m + n + p 31m(4) ; 21n(m) ; pp0(n) ; m < 4 ; n < m ; p < n ; p > 0 Ordenando: 0 < p < n < m < 4 ↓ ↓ ↓ 1 2 3 Luego: m + n + p = 6 APLICACIÓN (2): Hallar: a×b×n; si: a2b(9) = a72(n) 7 < n ; (Nº mayor base menor): n < 9 7 < n < 9 n = 8 Reemplazando: a2b9 = a728 a . 92 + 2 . 91 + b = a . 82 + 7.81 + 2 81a + 18 + b = 64a + 58 17a + b = 40 2 6 Luego: a x b x n = 96    = = b 6 a 2 1. Al convertir el número 2478 al sistema decimal se obtiene un número cuyo producto de cifras es: A) 40 B) 35 C) 46 D) 42 E) 50 2. Hallar «n» si: 443(n) = 245(11) A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. Si: a55(b) = (a −1)aa(7) hallar «a.b» A) 20 B) 16 C) 15 D) 32 E) 24 4. El mayor número de 3 cifras de la base «n» se escribe en el sistema senario como 2211. hallar «n» A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 16 5. Si 1050(n) = 24n hallar n2 A) 4 B) 9 C) 16 D) 36 E) 49 6. Sabiendo que 1331(n) = 260(9). convertir 43(n) al sistema decimal y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. Si n n0n =12110 hallar «n2» A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49 8. Si aban = m1n9 determinar el valor de «b» sabiendo que m > 5 a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 PROBLEMAS PROPUESTOS 9. Convertir el número: 3 1( 2)3 + + n n a base «n + 2». dar como respuesta la cifra de primer orden. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Si aaa14 = ( ) ( 2 ) 10 a n n determinar el valor de «a + n» A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 11. Si  "k"cifras 111 111(2) = 255 hallar «k2» A) 49 B) 64 C) 81 D) 100 E) 121 12. Si hallar «n - a» A) 6 B) 10 C) 13 D) 15 E) 19 13. Si mnmnmn(3) = mnn0(7) . hallar (m + n)2. A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 36 14. Si: 280 = aa0(b) hallar «a + b» A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 15. Si (8) "k"cifras 777...7  = 51216 - 1 Determinar el valor de «k» A) 37 B) 39 C) 47 D) 48 E) 53 16. determine «a + b + n» si: ab0ab(n) = 715 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 17. Si: a00a(6) = bc1 determinar: «a + b + c» A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 18. Expresar E en base 11 y determine la suma de sus cifras. E=7x114+12x115+15x113+8x11+49 A) 18 B) 21 C) 30 D) 25 E) 14 19. Si 33221(7) se expresa en otro sistema de numeración, se escribe con 6 cifras diferentes, siendo una de estas la cifra 5 ¿Cuál es la suma de las cifras restantes? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 20. Si 226(9) = 272(n) representar 107 en base «n» A) 143(n) B) 121(n) C) 153(n) D) 165(n) E) 163(n) 21. El número 201(8) se convierte a base «n» y se obtiene un número de tres cifras iguales. hallar «n» A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 11 22. Si 2345(n) = 1442(n+1). hallar «n» A) 25 B) 36 C) 49 D) 16 E) 64 23. Sabiendo que: 2541 = 3a + 3b + 3c + 3d + 3e hallar «a + b + c + d + e» a) 16 b) 17 c) 18 D) 19 E) 20 24. Al convertir 7161 del sistema decimal a base «n» se obtiene ababab, determinar «a + b + n» A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 25. calcular «a» si A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 26. Si : abc(6) =1abc(5) escr ibi r el mayor número abd(6) en base 5. A) 131(5) B) 213(5) C) 414(5) D) 313(5) E) 210(5) 27. Convertir el mayor número de la forma (8) a(a + b)b a la base 6. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 4 B) 5 C) 6 D)7 E) 3 28. Se convierte el número 15015 a base «n» y resulta escrito como 3xy 27 . Hallar «x + y + z». A) 11 B) 10 C) 12 D) 13 E) 14 29. Jorge tenía cab soles y durante «c» días gastó ab soles por día, entonces le quedó abc soles. ¿Cuánto tenía al inicio? A) 218 B) 316 C) 214 D) 812 E) 324 CLAVES 01. D 02. D 03. E 04. B 05. D 06. B 07. B 08. C 09. C 10. D 11. B 12. E 13. B 14. B 15. D 16. B 17. A 18. B 19. B 20. C 21. B 22. B 23. E 24. C 25. D 26. A 27. A 28. A 29. A 30. A 30. Hallar «a + b + n»; si: (n) (n2 ) 11ab = 79 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 9

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