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SISTEMAS DE NUMERACION EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • NÚMERO : Es la idea matemática creada por el hombre para cuantificar las cantidades. Ejemplo: 38 ; 892 ; 4101 ;...; etc. Numeral : Es la figura o símbolo que representa o da la idea del número, por ejemplo, para el número cinco, podríamos considerar a todas estas figuras o símbolos que pueden representar a cinco. ; V ; 3 + 2 ; 22 + 1 ; Cinco ; Five ; 5 Sistemas de numeración Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permite representar y expresar correctamente los números. Tenemos diversos Sistemas de Numeración , entre los cuales destaca el Sistema de Numeración Decimal o Decuplo. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL En el sistema de numeración decimal se utilizan sólo diez símbolos para representar cualquier número. Las diez cifras llamadas dígitos son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. El valor de cada dígito en un número está en relación a la posición que ocupa. Cada cifra ubicada a la izquierda de otra aumenta diez veces su valor. Es el sistema cuyo principio fundamental es que la formación de sus unidades va de diez en diez. Así por ejemplo: 10 unidades forman otra unidad llamada decena, 10 decenas forman otra unidad llamada centena y así sucesivamente. Características del Sistema de Numeración Decimal: I) En el Sistema de Numeración Decimal existen diez símbolos denominados cifras que son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 0. II) Con estas diez cifras se pueden formar todos los números posibles mediante las combinaciones entre ellas., por ejemplo, con las cifras 1 y 2 se pueden formar: 12 ; 21 ; 11 ; 22 ; 121, etc. III) El mínimo valor que puede tener una cifra es cero (cifra no significativa) y el máximo valor es 9 (una unidad menos que la base diez). Cifra o dígito : Son los símbolos que por convención se usaran en la formación de los numerales Y estos son: 0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Orden de una cifra : Se llama orden a la posición que ocupa cada cifra dentro de un número, estos órdenes se consideran de derecha a izquierda. Ejemplo: lugar de una cifra : Es la ubicación de la cifra según como se le lee de izquierda a derecha. Así en el ejemplo anterior. Cifra de primer lugar : 3 Cifra de segundo lugar : 5 Cifra de tercer lugar : 7 Cifra de cuarto lugar : 9 Nótese que: Lugar ¹ Orden Valores de una cifra: Toda cifra que forma parte de un número, puede tener dos valores. Valor relativo o posicional: Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número. Valor absoluto o por su forma: Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene. Ejemplo: Para el número: 1234, tenemos: V.R.(4) = 4 (ocupa el 4 la posición de las unidades: 4 × 1) V.R.(3) = 30 (ocupa el 3 la posición de las decenas: 3 × 10) V.R.(2) = 200 (ocupa el 2 la posición de las centenas: 2 × 100) V.R.(1) = 1 000 (ocupa el 1 la posición de las unidades de millar: 1 ×1 000) Representación literal de los números Cuando no se conocen las cifras de un número, éstas se representan con letras y con una rayita arriba. Tener en cuenta las siguientes observaciones: * La primera cifra de un número debe ser diferente de cero. * Toda expresión entre paréntesis representa a una cifra. * Las letras diferentes no necesariamente representan a cifras diferentes, salvo que se indique. * Las letras iguales sí representan a cifras iguales. Ejemplos: La representación se refiere a cualquiera de los noventa números que existen en el sistema decimal. Es decir: donde “a” que es primera cifra no puede ser cero. es la representación de un número de tres cifras. Es decir: , representa a un número de dos cifras. , representa a un número de tres cifras representa a un número de tres cifras consecutivas en el sistema decimal. representa a un número de dos cifras iguales Es decir: representa a un número de tres cifras iguales Es decir : Número Capicua : Son aquellos números cuyas cifras extremas y las equidistantes de los extremos, son iguales; es decir, se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda o en sentido inverso representa el mismo valor numeral. Los números capicúas tienen la siguiente forma: Si son números capicuas de dos cifras: Si son números capicuas de tres cifras: Si son números capicuas de cuatro cifras: Todo número de dos o mas cifras iguales es capicua 77; 666; 1111; 77777; 444 444; etc. Descomposición polinómica "Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras". Así por ejemplo: 1234 =1000 + 200 + 30 + 4 =1 × 103 + 2 × 102 + 3 × 10 + 4 Nótese que cada cifra está multiplicada por 10 y este tiene como exponente la cantidad de cifras que se encuentran a la derecha de él. 32 509 = 3×104 + 2×103 + 5×102 + 0×10 + 9 Vemos que en la descomposición polinómica cada cifra se multiplica por la base elevada a un exponente igual al número de cifras que quedan a la derecha de la cifra considerada. mas Ejemplos: * 546 = 5×102 + 4×10 + 6 * 79 = 7×10 + 9 * 5301 = 5×103 + 3×102 + 0 ×10 + 1 Sistemas de numeración no decimal En el mundo practicamente sólo se usa el sistema decimal, este sistema ha tenido su origen en los diez dedos de la mano del hombre. Existen aparte del sistema decimal, muchos otros sistemas de numeración. Todo sistema de numeración tiene una base, la cual es un número entero positivo mayor que 1, que nos indica el número de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Las cifras que forman un numeral deben ser enteros positivos, donde la cifra que ocupa el primer lugar debe ser diferente de cero y todas las cifras deben ser menores que la base. Base de un Sistema de Numeración Es el número de unidades de un orden cualquiera que forma una unidad de un orden inmediato superior. También se define como aquella que nos indica el número de cifras disponibles de un sistema de numeración para escribir o representar cualquier número. Así, por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7, necesito siete unidades para poder ser agrupados y formar otro orden. Al agruparlo de 7 en 7, se han formado cuatro grupos y han quedado sin agrupar seis unidades, luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7) ejemplo 2 : Agrupar , 26 unidades en base 3 La agrupación es: 2 grupos de 3 × 3 = 2 × 32 2 grupos de 1 × 3 = 2 × 31 2 unidades sueltas = 2 o también: 222(3) Condiciones de la base : i) La base es un número natural, es decir, la base es positiva y diferente de cero. ii) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la menor base es 2 (Sistema Binario) Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración Toda cifra de un numeral es necesariamente menor que su base y además es significativa, es decir, es diferente de cero, pero para formar otros números se pueden ayudar de la cifra no significativa o auxiliar que es el cero. Ejemplos: 1023(5) Todas las cifras son menores que la base 5, entonces, el número está correctamente escrito. * 222222(3)Todas las cifras son menores que la base 3. * 86577(8) Todas las cifras no son menores que la base 8, la cifra que ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8, entonces el número no está correctamente representado. Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente: En la base "b" : - Se usan "b" cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera. - Las cifras pueden ser: Significativas = No significativa o auxiliar : 0 (cero) Conclusión: Cifra < Base - Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta: a = 10; b = 11; g = 12; etc. - Existen infinitos sistemas de numeración, como consecuencia del cuadro anterior. Valor posicional : Es el valor que toma una cifra por la posición u orden que ocupa en el numeral. Ejemplos: Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de Numeración La suma de los valores posicionales de cada una de las cifras de un numeral, nos da la descomposición polinómica, así tendremos: 4132(6) = 4×63 + 1×62 + 3×6 + 2 1234(5) = 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194 (9) = a×92 + a×9 + a = 81a + 9a + a = 91a (n) = a × n3 + b × n2 + c × n + d (4) = m × 42 + n × 4 + m = 16m + 4n + m = 17m + 4n Transformación de Sistemas de Numeración Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de numeración, pero sin dejar de poseer estos números la misma cantidad de unidades. También se le conoce a este tema como cambio de bases. El problema fundamental es; teniendo un número representado en determinado sistema de numeración, encontrar su representación en otro sistema de numeración, para resolver este problema tenemos los siguientes casos Caso I : De una base diferente de 10 a la base 10 "Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando para ello las operaciones indicadas" Ejemplos: También se puede utilizar el "método de Ruffini", así: Convertir 4315(6) a base 10. Caso II: De base 10 a una base diferente de 10 Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado del sistema decimal (base 10) entre la base "n" a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que "n" se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que "n". Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número tomado en base "n". Ejemplos: Convertir 25 a base 8: Para convertir un número de base 10 a otra base, se divide el número dado entre la base a la cual se desea transformar, si el cociente es mayor que el divisor se continúa con la división hasta obtener un cociente menor que la base. Este procedimiento se llama divisiones sucesivas. Convertir 100 a base 3: Convertir 216 a base 6: Convertir 485 a base 9. Caso III : De una base diferente de 10 a otra diferente de 10 Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir, primero llevamos al número de base diferente de 10 por descomposición polinómica (o por Ruffini) al sistema decimal y luego este número por divisiones sucesivas lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10. Ejemplos : Convertir 251(7) a base 4 Paso 1: 251(7) al sistema decimal (base 10). 251(7) = 2×72 + 5×7 + 1 = 134 Paso 2: 134 al sistema cuaternario (base 4). Trasladar 245(9) a la base 12 Paso 1: 245(9) a la base 10 Paso 2: 203 a base 12 Propiedad : Si un número se expresa en dos sistemas de numeración, se cumplirá que: "A mayor representación aparente le corresponde una menor base y a menor representación le corresponde mayor base". Ejemplos: Si: , calcular : ab A) 16 B) 20 C) 17 D) 18 E) 12 Resolución : Descomponiendo polinomicamente , se obtendrá : Siendo un número , entonces : “a” y “b” como máximo pueden ser 9 cada uno. En la ecuación : Entonces : Nos piden calcular : a×b = 5× 4 = 20 RPTA : ‘‘B’’ ¿Cuántos números de 2 cifras existen que resultan ser 5 veces la suma de sus cifras? A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN : Por condición se tiene el número de 2 cifras : Descomponiendo polinómicamente : Como a y b son cifras , son menores que 10, entonces : a = 4 y b = 5 Con lo que se deduce , que existe 1 número que cumpla la condición dada RPTA : ‘‘C’’ Calcule la suma de todos los números de 3 cifras diferentes que se pueden formar con las de 3 cifras impares que hay en el sistema de base 6. A) 1776 B) 1665 C) 999 D) 1998 E) 1554 Resolución: En base 6 se puede utilizar las cifras {0;1;2;3;4;5}, pero las cifras impares que se pueden utilizar son {1; 3; 5}. Sumando los números que se forman con 1; 3 y 5. (Suma de los números de 3 cifras impares)=1998 RPTA : ‘‘D’’ Si los numerales mostrados a continuación ; Están correctamente escritos.Determinar : “n” A) 8 B) 7 C) 4 D) 6 E) 9 Resolución : Recordemos que en un numeral, las cifras deben ser menores que la base , entonces Observando el numeral , se deduce que n es menor que 9 y observando el numeral 576n, deducimos que n es mayor que 7 , es decir : 7< n< 9 Luego : n = 8 RPTA : ‘‘A’’ Si los números : ; están bien representados , calcular (m+n). A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11 Resolución : Analizando las cifras de los numerales, con respecto a la base afirmamos: Ordenando las desigualdades tenemos : Se deduce : m = 5 ; n= 4 Se pide: m + n = 5 + 4 = 9 RPTA : ‘‘B’’ Sabiendo que los numerales están correctamente escritos. , calcular : a + b + c. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 Resolución : Analizando los numerales , se deduce que Se pide : a + b + c = 5 + 6 + 7= 18 RPTA : ‘‘D’’ Si se cumple ; calcule A) 372 B) 407 C) 543 D) 547 E) 574 Resolución : Llevando a base 10 por descomposición polinómica, cada miembro : De donde necesariamente, los valores de “a” y “b”, serán: a=1 y b= 4 Se pide: RPTA : ‘‘E’’ Si es igual al triple de . Calcular : p+m A) 12 B) 8 C) 15 D) 10 E) 6 Resolución: De la condición , se planteará : Por descomposición polinómica , Dado que “m” y “p” son cifras, menores que 7, entonces , m = 5 y p = 1 Se pide : m + p= 5 +1= 6 RPTA : ‘‘E’’ Si:;Calcule : a×b A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 Resolución : Por descomposición polinómica, se obtendrá: a×53 + b×52 + a×5 + b = (a +b)×82 + a×8 + a 130a + 26b = 73a + 64b De donde: a = 2 y b = 3 Se pide: a × b = 2 × 3 = 6 RPTA : ‘‘C’’ Calcular “n”; si: A) 8 B) 9 C) 1 D) 6 E) 5 Resolución : Recordemos que : Luego: Entonces: n < 7 Pero : 5 < n…(cifra < base) Luego: RPTA : ‘‘D’’ Expresar el numeral 352(6) en base 7 Resolución : Por descomposición polinómica : 352(6)=3 × 62+ 5 × 6 + 2=108 + 30 + 2=140 Luego divisiones sucesivas : Si se cumple: . Determinar : a + b + c + n. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 Resolución : Por propiedad se deduce : Se observa : Remplazando : A base 10 : A base 7 : (Por divisiones sucesivas) Se deduce : a + b + c + n = 3 + 1 + 4 + 6 = 14 RPTA : ‘‘E’’ Calcular el menor número cuya suma de cifras es 13, dar la diferencia de sus cifras. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 Calcular la suma del menor número de dos cifras y el mayor número de tres cifras diferentes. A) 997 B) 1009 C) 998 D) 1000 E) 1008 Indicar verdadero (V) o falso (F), según sea el caso: I) En el sistema decimal se utiliza sólo nueve cifras II) La menor cifra significativa es 1. III) La suma de todas las cifras que se pueden usar en el sistema decimal es 45. A) FVV B) VFV C) VVV D) FVF E) FFV Dado el numeral capicúa: calcular: A) 42 B) 43 C)74 D)55 E) 36 Dado: el numeral capicúa: calcular: ‘‘ a + b’’ A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Calcular el número de dos cifras del sistema decimal que sea igual a ocho veces la suma de sus cifras. A) 64 B) 56 C) 54 D) 63 E) 72 ¿Cuántos números de dos cifras equivalen al cuádruple de la suma de sus cifras? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Un número esta compuesto por tres cifras, la cifras de la centena es cuatro veces la cifras de las unidades, y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el producto de las cifras de dicho número. A) 80 B) 60 C) 40 D) 36 E) 24 Calcular el número de dos cifras, ambas diferentes de cero tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado 72. A) 73 B) 81 C) 91 D) 92 E) 87 La suma de las dos cifras que forman un número del sistema decimal es igual ocho, si al número se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene 18. calcular el doble del número A) 108 B) 106 C) 72 D) 126 E) 132 Si los numerales: Están correctamente escritos, calcular: «a + b» A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 9 Si los numerales están correctamente escritos: calcular: ‘‘a.b’’ A) 6 B) 12 C) 2 D) 3 E) 4 Si los numerales están correctamente escritos: calcular: ‘‘a + b + c’’ A) 18 B) 15 C) 26 D) 27 E) 30 Calcular un número del sistema heptanario de tres cifras , tal que la cifra de tercer orden sea doble de la cifra de segundo orden y la cifra de segundo orden sea el doble del la de primer orden. A) 422(7) B) 246(7) C) 124(7) D) 146(7) E) 421(7) En el sistema duodecimal . ¿ cuántos números de dos cifras existen? tal que la cifra de primer orden sea el triple de la del segundo orden. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Hallar el mayor número de tres cifras diferentes sistema senario, tal que la suma de los valores absolutos sea 11 (de la base 10) A) 443(6) B) 452(6) C) 551(6) D) 542(6) E) 524(6) Aplicando descomposición polinómica ordenar de mayor a menor. A) 1102(4) B) 150(7) C) 213(8) A) A, B, C B) B, A, C C) B, C, A D) A, C, B E) C, B, A Si: ¿Cómo se escribe el número ‘‘L’’ en base seis? Dar la suma de cifras. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 Si: ¿Como se escribe ‘‘F’’ en base siete? A) 3524(7) B) 3542(7) C) 5342(7) D) 5324(7) E) 5432(7) Calcular ‘‘x’’, si se cumple: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Expresar 532(6) en el sistema decimal. A) 200 B) 180 C) 360 D) 235 E) 210 El mayor número de tres cifras del sistema nonario, expresarlo en base diez, es: A) 720 B) 722 C) 724 D) 726 E) 728 El mayor número de dos cifras del sistema decimal, expresarlo en el sistema binario, e indicar la suma de sus cifras. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Expresar en base 9 el mayor número de cuatro cifras diferentes del sistema senario. A) 1736(9) B) 1748(9) C) 1632(9) D) 1732(9) E) 1639(9) Convertir el menor número de cuatro cifras de base 7 a la base 5. A) 2323(5) B) 2333(5) C) 3222(5) D) 3232(5) E) 2233(5) Calcular «a+b+c», si se cumple: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Calcular «m + n + p», si se cumple: A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 Si se cumple que: calcular: «x + y + m + n» A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Calcular:«a + b + c», si A) 14 B) 13 C) 15 D) 16 E) 18 Calcular «a + b + c», si A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 Expresar en base 4, el menor número del sistema de base 6, cuya suma de sus cifras sea 12. E indicar dicho número cuaternario. A) 1223(4) B) 1023(4) C) 231(4) D) 1032(4) E) 2131(4) Como se escribe en la base 4, el menor numeral de cuatro cifras diferentes del sistema de base 6. A) 1233(4) B) 3123(4) C) 2513(4) D) 3213(4) E) 4312(4) Calcular: ‘‘a’’, si se cumple: A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Aplicando descomposición polinómica, calcular ‘‘n’’. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Aplicando descomposición polinomica, hallar ‘‘m’’ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Calcular el valor de ‘‘x’’, en: 90 = 230(x) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Si sabemos que: 213(n) = 81 calcular: ‘‘n’’ A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 En que sistema de numeración el número decimal 307 se expresa como 463. A) de base 6 B) de base C) de base 8 D) de base 9 E) de base 5 Si los numerales están correctamente escritos: calcular: «m + n + p» A) 15 B) 14 C) 12 D) 10 E) 8 Sabiendo que: calcular: «a + b» A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6 Cumpliendo que: ;calcular: «a + b» A) 5 B) 6 C) 4 D) 7 E) 9 Si se cumple: calcular: «a + b» A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

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