Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

MEDIDAS DE DISPERSIÓN ESTADISTICA EJERCICIOS RESUELTOS PDF

MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de tendencia central no son suficientes para describir a un conjunto de datos ; es decir, para completar el análisis, se debe tener una idea del grado de concentración o disposición de las observaciones alrededor de un valor central o de posición
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  • , por lo que resulta necesario incluir medidas de disposición como por ejemplo la varianza representa por S2 o y la desviación estándar denotada por S o . VARIANZA MUESTRAL Una vez determinado el promedio de un grupo de datos , nuestra búsqueda de información se dirige de inmediato a una medida de dispersión. Por ejemplo que los datos son 3 ; 4 ; 3 ; 5 ; 8 y 7. La disposición o variabilidad que existe entre ellos se puede cuantificar al restar el mínimo valor del máximo valor; esto es , 8 – 3= 5. Esta es una medida de variabilidad basada en los valores extremos del conjunto y, por tanto no informa nada con respecto a la variabilidad en la parte central de los datos. Para desarrollar una medida de variabilidad más exacta, tomaremos las desviaciones de cada dato con respecto a la media de ellos. En el ejemplo, tenemos: Se podría suponer que el promedio de las desviaciones puede funcionar como medida de dispersión; sin embargo, puedes observar que la suma de estas desviaciones es exactamente cero. De hecho , siempre tendrá valor cero. ¿Por qué?, Revisa la definición de media para justificar esta afirmación. Es obvio que si esta medida va a ser siempre cero, no será útil para describir un conjunto cualquiera de datos. Observarás que hay una cancelación entre las desviaciones negativas y positivas. Este efecto de cancelación podría evitarse si todas las desviaciones fuesen positivas. Al elevar al cuadrado todas las desviaciones se tendrán siempre valores positivos y , por tanto , cuando se sumen tales valores, el resultado será positivo. Retornaremos a nuestro ejemplo: Las desviaciones al cuadrado suman 22,el promedio de las desviaciones al cuadrado es Esta medida es conocida como varianza, se denota por S2 y se define como la dispersión de los datos alrededor de la media: La misma fórmula en datos resumidos en una distribución de frecuencias es: ejemplo: Dado: Luego, la varianza de los ingresos es: Usando la fórmula reducida, tenemos: Esto es : En los cálculos anteriores de varianza, los resultados se expresan en soles al cuadrado. Por ejemplo, la varianza de los ingresos resultó S2=11 100 soles2. ¿Cómo interpretamos este resultado? La respuesta será «esto no es interpretable» o «no tiene interpretación». Pues el problema de la varianza como medida de dispersión no tiene interpretación debido a que está expresando en unidades cuadráticas. Este problema de interpretación se resuelve utilizando la desviación estándar. DESVIACIÓN ESTÁNDAR Se define como la raíz positiva de la varianza. Se denota con la letra S. En el ejemplo anterior, la varianza de los ingresos fue 11 100 soles2. Entonces, la desviación estándar es: Cuya interpretación podría ser: ‘‘en promedio , el ingreso de una familia difiere del ingreso promedio familiar en S/. 105,36’’. Las unidades de medida de la desviación estándar son iguales a las unidades de medida de los datos. Si por ejemplo, los datos están en kilogramos, entonces la desviación estándar S también en kilogramos, y mientras mayor sea el valor de S o S2, mayor será la dispersión de los datos. OBSERVACIONES: * Cuando los valores tienden a concentrarse alrededor de su media la varianza será pequeña, si los valores tienden a distribuirse lejos de la media, la varianza será grande. * No olvides que, por definición, tanto la varianza como la desviación estándar son dos valores positivos. * S2 y S son ambas medidas de dispersión, la diferencia radica en que S2 está acompañada de las unidades originales elevadas al cuadrado, mientras que S está acompañada de las unidades originales. Por decir, si se calcula S2 de un grupo de datos expresados en metros, y resulta S2=1,45, lo correcto es : S2=1,45m2, mientras que para la desviación estándar se tiene que decir: Un problema que se plantea, tanto la varianza como la desviación estándar, especialmente a efectos de comparaciones entre distribuciones, es el de la dependencia respecto a las unidades de medida de la variable. Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el llamado «Coeficiente de Variación de Pearson», del que se demuestra que nos da un número independiente de las unidades de medidas empleadas, por lo que entre dos distribuciones dadas diremos que posee menor dispersión aquella cuyo coeficiente de variación sea menor., y que se define como la relación por cociente entre la desviación estándar y la media aritmética; o en otras palabras es la desviación estándar expresada como porcentaje de la media aritmética. coeficiente de variación (c.v.) Es una medida de dispersión relativa (libre de unidades de medida), que se define como la desviación estándar dividida por la media aritmética: El C.V. es una medida muy útil para comparar la variabilidad de dos o más conjunto de datos que tengan distintas unidades de medida y/o distintas medias aritméticas. Su utilidad estriba en que nos permite comparar la dispersión o variabilidad de dos o más grupos. Así, por ejemplo, si tenemos el peso de 5 pacientes (70;60; 56; 83 y 79 kg) cuya media es de 69,6kg. y su desviación típica (s)=10,44 y la TAS de los mismos (150 ; 170 ; 135 ; 180 y 195 mmHg) cuya media es de 166 mmHg y su desviación típica de 21,3. La pregunta sería: ¿qué distribución es más dispersa, el peso o la tensión arterial? Si comparamos las desviaciones típicas observamos que la desviación típica de la tensión arterial es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación: A la vista de los resultados, observamos que la variable peso tiene mayor dispersión. Cuando los datos se distribuyen de forma simétrica (y ya hemos dicho que esto ocurre cuando los valores de su media y mediana están próximos), se usan para describir esa variable su media y desviación típica. En el caso de distribuciones asimétricas, la mediana y la amplitud son medidas más adecuadas. En este caso, se suelen utilizar además los cuartiles y percentiles. Los cuartiles y percentiles no son medidas de tendencia central sino medidas de posición. El percentil es el valor de la variable que indica el porcentaje de una distribución que es igual o menor a esa cifra. Así, por ejemplo, el percentil 80 es el valor de la variable que es igual o deja por debajo de sí al 80% del total de las puntuaciones. Los cuartiles son los valores de la variable que dejan por debajo de sí el 25%, 50% y el 75% del total de las puntuaciones y así tenemos por tanto el primer cuartil (Q1), el segundo (Q2) y el tercer cuartil (Q3). nota : El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidad aplicada, como Teoría de renovación, Teoría de colas y. En estos campos la distribución exponencial es a menudo más importante que la distribución normal. La desviación típica de una distribución exponencial es igual a su media, por lo que su coeficiente de variación es 1. La distribuciones con un CV menor que uno, como la distribución de Erlang se consideran de «baja varianza», mientras que aquellas con un CV mayor que uno, como la distribución hiperexponencial se consideran de «alta varianza». Algunas fórmulas en estos campos se expresan usando el cuadrado del coeficiente de variación, abreviado como SCV (por su siglas en inglés).

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