Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Aritmética MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE NÚMEROS ENTEROS 1. Definición: El Máximo Común Divisor (MCD) de un conjunto de números enteros positivos es el mayor de sus divisores comunes. 
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  •  Ejemplo: Si A = 34.57.1713 y B = 312.72.1711, el MCD (A; B) = 34.1711 Se dice que A y B son primos entre sí (PESI), si MCD(A; B) = 1 PROPIEDADES Dados los números enteros A, B, C y n, entonces se cumple que: i. MCD(nA; nB; nC) n MCD(A; B; C) ii. MCD A; B; C MCD(A; B; C) n n n n iii. MCD(An; Bn; Cn) MCD(A; B; C) n iv. MCD(A;B;C;D)=MCD(MCD(A;B);MCD(C;D)) v. MCD(A;B;C)=MCD(MCD(A;B);MCD(B;C)) Observación. En general, sean los números A, B y C; de tal manera que el MCD(A; B; C) = d, entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: A = d p; B = d q y C = d r Si a es múltiplo de b, entonces el MCD(a;b) es b. Si varios números naturales se dividen entre su MCD, los resultados son primos entre sí. El MCD de dos números a y b coincide con el MCD de b y el resto de la división de a entre b. En esta propiedad se basa el Algoritmo de Euclides. Teorema de Bezout. a y b son números enteros con MCD(a;b) = d si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifica: d = p.a + q.b Según el Teorema de Bezout. a y b son PESI si y solo si existen dos números enteros p y q tales que se verifique: p.a + q.b = 1. 2. Definición: El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de un conjunto de números enteros positivos es el menor de sus múltiplos comunes. Ejemplo: Si A = 26.54.78 y B = 25.33.79, el MCM (A; B) = 26.33.54.79 Si A y B son primos entre sí, entonces MCM (A; B) = A B PROPIEDADES. Dados los números A, B, C y n, entonces se cumple que: i. MCM(nA; nB; nC) n MCM(A; B; C) ii. MCM A; B; C MCM(A; B; C) n n n n iii. MCM(An; Bn; Cn) MCM(A; B; C) n Solo para dos números enteros se cumple que MCD(A; B) MCM(A; B) A B Observación. En general, sean los números A, B y C; de tal que el MCM(A; B; C) = m; entonces existen números enteros positivos p, q y r primos entre sí tal que: m = A p, m = B q y m = C r Si a es múltiplo de b, entonces el MCM de ambos es a. Si varios números naturales se multiplican (o dividen exactamente) por otro natural m, su MCM queda también multiplicado (o dividido exactamente) por m. ALGORITMO DE EUCLIDES PARA EL CÁLCULO DEL MCD DE DOS NÚMEROS El procedimiento se puede organizar en el siguiente esquema: Cocientes Ejemplo: Halle el MCD de 42 y 9 42 9 MCD(42 ; 9) = 3 4 1 2 6 6 3 3 0 Por lo tanto, MCD (42; 9) = 3 PROPIEDADES. MCD Na 1 ; Nb 1 NMCD(a;b) 1. Si N = a k y N = b k , k Z N = k MCM(a ; b) . Cocientes Dividendo y divisor Residuos # Mayor A # Menor B q1 q2 q3 q4 q5 r1 r2 r3 r4 r1 r2 r3 r4 0 = d = MCD(A;B) TERMINA EL PROCESO CUANDO EL RESIDUO ES CERO.

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