Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

MCD Y MCM EJERCICIOS RESUELTOS PDF

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Es el mayor de los divisores comunes de varios números. Tambien se le conoce con el nombre de prodivisor. 
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  • Ejemplo: Hallar el MCD de 18 y 30. 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Divisores comunes: 1, 2, 3, 6 El mayor es el MCD Así: MCD(18, 30) = 6 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Es el menor de los múltiplos comunes de varios números; también se le conoce con el nombre de promúltiplo. Ejemplo: Hallar el MCM de 12 y 8. 12 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... 8 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ... Múltiplos comunes: 24, 48, ... El menor es el MCM Así: MCM(12, 8) = 24 DETRMINACIÓN DEL MCD Y MCM 1. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA Ejemplo: Dados: A = 24 . 35 . 52 . 7 . 13 B = 22 . 3 . 72 . 13 . 17 UNIDAD 16 MCD y MCM MCD: Factores comunes al menor exponente. MCM: Factores comunes y no comunes al mayor exponente. Así: MCD(A, B) = 22 . 3 . 7 . 13 MCM(A, B) = 24 . 35 . 52 . 72 . 13 . 17 2. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA Ejemplo: Hallar el MCD y mcm de 360 y 480 MCD: Factores comunes MCM: Total de factores Así: 360 – 480 2 180 – 240 2 90 – 120 2 45 – 60 3 15 – 20 5 3 – 4 Para MCM seguimos descomponiendo: 360 – 480 2 . – . 2 . – . 2 . – . 3 . – . 5 3 – 4 3 1 – 4 2 1 – 2 2 1 – 1 3. ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES SUCESIVAS Ejemplo: Hallar el MCD de 700 y 425 Factores comunes MCD = 23 . 3 . 5 Todos los factores: MCM = 25.32.5            MCD = 60 MCM = 1440        PROPIEDADES 1. Si: «A» y «B» son PESI: MCD(A, B) = 1 MCM(A, B) = A.B 2. Dado: MCD (A, B, C) = d MCD(A.n, B.n, C.n) = d.n Así mismo: mcm (A, B, C) = m MCM(A.n, B.n, C.n) = m.n 3. Si: MCD (A, B, C) = d = r d C = q ; d B = p ; d A Siendo: «p», «q» y «r» PESI Entonces despejando: A = d . p B = d . q C = d . r Ejemplo: MCD(12, 16, 20) = 4 Si: = 3 4 12 = 4 4 16 = 5 4 20 ; 3, 4 y 5 son PESI. Tambien: 12 = 4(3) 16 = 4(4) 20 = 4(5) 4. Sólo para dos números: MCD(A, B) = d MCM(A, B) = m A.B =MCD . MCM = d.m Ejemplo: Dados los números: 12 y 15 12 x 15 = 3 x 60 MCD = 3 MCM = 60   MCD (700; 425) = 25 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Al dividir 1020 y 665 entre «n» los residuos respectivos fueron 12 y 17. ¿Cuál es el mayor valor de «n»? Según los datos: 1020 n 1020 = n + 12 12 q1 1008 = n ......(α) 665 n 665 = n + 17 17 q2 648 = n .......(β) De (α) y (β), «n» es divisor común de 1008 y 648. Si queremos que «n» sea el mayor posible, entonces: n = MCD (1008; 648) Calculando el MCD se obtiene: MCD (1008; 648) = 72 n = 72 2. El cociente de 2 números es 15. Si su MCD es 18, hallar el número mayor. B A = 15 ; A > B Se observa que A contiene exactamente a B, entonces A es múltiplo de B. Propiedad: si: A es B → MCD es el número menor. Luego: MCD = B y como: MCD (A y B) = 18 Se deduce: B = 18; entonces: A = 15.B A = 240 3. ¿Cuántas parejas de números cumplen que su MCD sea 9 y su suma sea 126? A + B = 126 ........(I) y MCD = d Propiedad: (p y q: son PESÍ) Reemplazando y factorizando en (I): d(p+q) = 126; reemplazando d = 9 9(p+q) = 126 p + q = 14 (p y q: son PESÍ) ↓ ↓ 1ra sol. 11 3 2da sol. 13 1 3ra sol. 9 5 Reemplazando: 1ra solución: A = 9.11 = 99 B = 9.3 = 27 2da solución: A = 9.13 = 117 B = 9.1 = 9 3ra solución: A = 9.9 = 81 B = 9.5 = 45 4. Las dimensiones de un terreno rectangular son 894 y 354m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados, de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas. ¿Cuántas parcelas cuadradas resultarán? A = d.p B = d.q    d d 894 354 «d» lado del terreno cuadrado que debe estar contenido en 894 y 354 (d es divisor) y para que haya el menor número de cuadrados, entonces el área del cuadrado debe ser la mayor posible; por lo tanto, «d» es lo mayor posible. d = MCD (894 y 354) d = 6 m ; entonces: (Nº de terrenos cuadrados) = área de parcela Área del terreno 8791 6.6 Nº terrenos = 894.354 = 5. Si el MCD de 45A y 63B es 36, ¿cuál es el MCD de 25A y 35B? Por dato: MCD (45A; 63B) = 36 Dividiendo entre 9: MCD 9 36 9 ; 63B 9 A 45 =     MCD (5A; 7B) = 4 Multiplicando por 5: MCD (5x5A; 5x7B) = 5x4 MCD (25A; 35B) = 20 6. Hallar el menor número entero positivo que dividido entre 4, 5, 6, 7, y 8 deja siempre de resto 3. Llamando «N» al número pedido: N = 4 + 3 N – 3 = 4 N = 5 + 3 N – 3 = 5 N = 6 + 3 N – 3 = 6 N = 7 + 3 N – 3 = 7 N = 8 + 3 N – 3 = 8 Luego, (N – 3) es un múltiplo común de 4, 5, 6, 7 y 8. También (N – 3) debe ser lo menor posible, entonces: N – 3 = MCM(4, 5, 6, 7, 8) N – 3 = 840 N = 843 7. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3, sobra 2; de 5 en 5, sobran 4; y de 7 en 7, sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro? 500 < N < 600 ; N: # páginas. 3 + 2 = 3 - 1 N 5 + 4 = 5 - 1 7 + 6 = 7 - 1 N = (  3;5;7 ) – 1 N =  105 – 1 N = 105k – 1 N en el intervalo sólo: k = 5 N = 105(k) – 1 N = 524 8. El producto y el cociente del MCM y MCD de 2 números son 1620 y 45, respectivamente. ¿Cuántos pares de números cumplen? 45 MCD MCM = MCM = 45 MCD MCM x MCD = 1620 ......(I) 45MCD x MCD = 1620 MCD2 = 36 MCD = 6 En (I): MCM x 6 = 1620 MCM = 270               PROPIEDAD: MCM = MCD x p x q A = MCD p 270 = 6 x p x q B = MCD q 45 = p x q (p y q: PESÍ) ↓ ↓ 1º sol.: 9 5 2º sol.: 45 1 1ra SOLUCIÓN: A = 6 x 9 = 54 B = 6 x 5 = 30 2da SOLUCIÓN: A = 6 x 45 = 270 B = 6 x 1 = 6 Hay dos pares de números. 9. Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron, respectivamente: 8, 10 y 12 segundos. ¿Cuántas vueltas habrán dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente, y a la vez, por la línea de partida? El 1ro pasa por el punto de partida cada 8 seg. El 2do pasa por el punto de partida cada 10 seg. El 3ro pasa por el punto de partida cada 12 seg. Para que los 3 ciclistas pasen juntos por la línea de partida debe transcurrir un tiempo que contenga a 8; 10 y 12 seg. Tiempo a transcurrir = MCM (8, 10, 12) Tiempo a transcurrir = 120 seg Luego cada ciclista da: 1ro ciclista: 120: 8 = 15 vueltas 2do ciclista: 120: 10 = 12 vueltas 3ro ciclista: 120: 12 = 10 vueltas    prop. 10. Hallar el valor de «n» en los números: A = 12 x 45n, y B = 12n x 45 para que el MCM tenga 90 divisores. Expresando A y B en sus factores primos: A = 22 . 32n+1 . 5n B = 22n . 3n+2 . 5 Recordar que el MCM se obtiene de los factores comunes y no comunes al mayor exponente. MCM = 22n . 32n+1 . 5n Cd(MCM) = (2n+1) (2n+2) (n+1) = (2n+1) 2(n+1) (n+1) = (2n+1) (n+1)2 = 45 = (2n+1) (n+1)2 = 5 . 32 (n+1)2 = 9 n = 2 2n + 1 = 5 1. ¿Cuántos múltiplos comunes de 3 cifras tienen 36, 42 y 63? A) 8 B) 3 C) 5 D) 7 E) 6 2. ¿Cuántos divisores comunes tienen A = 123.152 B = 182.93.7 C = 36.42.53 A) 18 B) 32 C) 25 D) 23 E) 24 3. Se tienen dos cortes de tela de 520cm de largo y 440m de ancho y de 280m de largo por 200m de ancho ¿Cuántos pañuelos cuadrados se podrán obtener en total sin que sobre tela? A) 178 B) 143 C) 184 D)153 E) 136 4. Las edades de dos hermanos suman 84 años si el máximo común divisor de tales edades es 12 ¿Cuántos años tiene el mayor si ninguno de ellos tiene mas de 50 años? A) 19 B) 27 C) 36 D) 48 E) 46 5. Al calcular el MCD de dos números primos por divisiones sucesivas se obtuvieron los siguientes cocientes: 2, 1, 2, 3 y 7, indicar el mayor de ellos. A) 283 B) 197 C) 211 D) 120 E) 156 6. ¿Cuántos divisores comunes tienen A, B y C; si: A = 103.42.5.72 B = 122.153.74 y C = 184.302.283 A) 45 B) 34 C) 29 D) 17 E) 79 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. ¿Cuántos múltiplos comunes de tres cifras tienen 3, 6, y 8? A) 11 B) 37 C) 29 D) 53 E) 41 8. Hallar la suma «a + b» si: MCD( a4 , b(a +1) ) = 18 A) 9 B) 8 C) 7 D) 2 E) 3 9. ¿Cuántas botellas cuya contenido de vino es el mayor posible? se necesitaran para envasar exactamente cuatro pipas de 72, 24, 56, 96 litros de vino. A) 16 B) 28 C) 31 D) 46 E) 50 10. Hallar la suma dos números primos, sabiendo que los cocientes obtenidos para calcular su MCD por divisiones sucesivas fueron: 2, 3, 1, 2, 1 y 5. A) 192 B) 139 C) 475 D) 281 E) 291 11. Si MCD(12A; 21B) = 120; MCD(21A; 12B) = 480 calcular el MCD(A, B) A) 12 B) 27 C) 18 D) 9 E) 10 12. Si N < 900 y MCD(N, 1200) = 80. ¿Cuántos valores puede tener N? A) 10 B) 13 C) 14 D) 16 E) 18 13. Si A = 15.8n y B = 15n.8; Para que valor de «n>1» se cumple que el MCM(A, B) sea 40 veces el MCD (A, B) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 7 14. Al calcular el MCD de dos números A y B por divisiones sucesivas los cocientes obtenidos fueron 2, 1, 1, 3. Indicar el valor del mayor de ellos si MCD(A, B) = 8 A) 112 B) 204 C) 144 D) 228 E) 124 15. El MCD de dos números es 12 cual es el mínimo común múltiplo de tales números si su producto es 2160. A) 112 B) 180 C) 225 D) 298 E) 362 16. ¿Cuántos divisores comunes múltiplos de 15 tienen A y B si MCD(A, B) = 122.53.74 A) 120 B) 150 C) 180 D) 220 E) 110 17. Hallar la suma de dos números enteros A y B de tres cifras cada uno para los que se cumple: MCD(A, B) = C.A.(A) y MCM(A, B) = C.A. (B). A) 1200 B) 1040 C) 1970 D) 1990 E) 1000 18. Si MCD(24A, 4B) = 12 y MCD(12B, 4C) = 12 calcular el MCD(18A,3B,C) A) 7 B) 4 C) 8 D) 3 E) 5 19. Se vende dos lotes de zapatos por 7250 y 9750 soles respectivamente. Si los zapatos tienen el mismo precio y es el mayor posible ¿Cuántos zapatos se vendieron? A) 28 B) 38 C) 48 D) 68 E) 58 20. Tres depósitos contienen la misma cantidad de vino y es la menor posible ¿Cuántos botellas de 18, 28 y 20 c.c. se necesitaran para envasarlos sin desperdiciar nada? A) 160 B) 180 C) 178 D) 200 E) 300 21. La suma de dos números es 2080; determinar al mayor de ellos sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo euclidiano fueron: 3, 2, 1, 1 y 4. A) 288 B) 966 C) 2184 D) 644 E) 1983 22. Determinar el menor número N de chocolates, que se puede repartir entre un grupo de niños sabiendo que: al darles 3, 4 ó 5 a cada uno siempre sobra un chocolate pero si les damos 7 no sobra nada. A) 301 B) 271 C) 318 D) 229 E) 681 23. Tres automóviles compiten sobre una pista circular empleando 24, 40 y 56 minutos respectivamente en dar una vuelta. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir? para que, partiendo juntos vuelvan a estar nuevamente en la línea de partida por primera vez. A) 712 B) 650 C) 648 D) 722 E) 840 24. Estela tomo 4 pastillas el domingo 12 de octubre del 2008. se sabe que una pastilla debe tomarla cada 6 días, los otros cada 8, 10 y 12 días respectivamente. ¿Cuál será el próximo día que volverá a tomar las cuatro pastillas nuevamente? A) Lunes 9/02/2009 B) Martes 14/01/2009 C) Jueves 18/03/2009 D) Sabado 9/02/2009 E) Viernes 9/01/2009 25. El MCM(A, B) = a3n2n . Al calcular el MCD de A y B por divisiones sucesivas se obtuvieron los siguientes cocientes sucesivos: 3, 2, 5 y 3. hallar la suma de las cifras del mayor de ellos. A) 15 B) 8 C) 90 D) 22 E) 11 26. Lupe trabaja 5 días y descansa el sexto, anita trabaja 4 días y descansa el quinto. Ambas comienzan a trabajar este lunes ¿Cuántos días trabajara cada uno para que descansen un domingo simultáneamente? A) 175; 168 B) 168; 149 C) 104; 184 D) 149; 196 E) 185; 125 27. El producto de dos números enteros y positivos es 360. la suma de los cocientes obtenidos al dividir cada uno de ellos entre su MCD es 7. el producto de estos cocientes es 10. entonces ¿Cuál será el valor de la diferencia de estos números? A) 13 B) 18 C) 15 D) 17 E) 21 28. La longitud de las ruedas posteriores de un triciclo es 12cm y de la rueda delantera es 18 cm. ¿Qué distancia habrá recorrido el triciclo para que las ruedas posteriores den 120 vueltas mas que las delanteras? A) 2180cm B) 1985cm C) 8640cm D) 7812cm E) 8913cm 29. El MCD de dos números es 248 y el menor de ellos es 2976, sabiendo que el MCM(A,B) esta comprendido entre 59520 y 89500 ¿Cuántas soluciones hay para el mayor de dichos números? A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 1 30. Si el MCD(A, B)=7; además : A2 – B2 = 5635, hallar el valor de la suma «A + B» A) 23 B) 5 C) 21 D) 32 E) 12 CLAVES 01. B 02. A 03. A 04. D 05. B 06. A 07. E 08. B 09. C 10. D 11. E 12. B 13. A 14. C 15. B 16. B 17. E 18. D 19. D 20. C 21. C 22. A 23. E 24. A 25. A 26. A 27. B 28. C 29. D 30. A

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