Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

LOGICA CUANTIFICACIONAL EJERCICIOS RESUELTOS PDF

FUNCIÓN PROPOSICIONAL Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertiste en verdadero o falso para cierto valor de la variable.
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  •  Las funciones proposicionales se pueden representar por: p(x) , q(x) , r(x) , etc , donde «x» sería la variable. Ejemplos : p(x) : x – 2 >18 q(x) : x2 + 4=16 r(x) : «x» es un número primo. Si en la primera función proposicional p(x) a «x» le damos diferentes valores tendremos : Para : 8 > 18…(Falso) Para : 21 > 18…(verdadero) Como puede verse , dependiendo del valor de la variable podemos obtener resultados diferentes. CUANTIFICADORES UNIVERSAL y EXISTENCIAL Cuantificador Universal : Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión «para todo x», estaremos indicando el sentido universal de dicha función proposicional obteniendo ahora una proposición lógica. Notación : Se lee: «para todo x , tal que , se verifique p(x)». Ejemplo : Si tenemos una función proposicional : p(x) : x + 5 > 2 ......(no es proposición lógica), y ahora le agregamos el cuantificador universal «». . ...(proposición lógica) Tendremos una proposición lógica , cuyo valor es falso, por que no todos los valores de «x» cumplirán la proposición , por ejemplo: para x = – 4 , no cumple. Entonces es falso que para todo «x» , se cumpla : x+ 5 > 2. Cuantificador Existencial : Si a una función proposicional , le anteponemos la expresión «existe un x tal que» , estaremos indicando el sentido existencial (que exista) de dicha función : Notación : Se lee : «existe un x , tal que , se verifique p(x)». «existe por lo menos un x , tal que , se verifiqué p(x) «al menos un x , verifique p(x)». Ejemplo : p(x) : x – 3 > 10...(función proposicional) x : p(x) x : x – 3 >10...proposición lógica) para verificar que es una proposición lógica, podemos darnos cuenta que si x=15 , se cumple la desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos un «x», que verifique p(x) , por lo tanto es una proposición lógica, cuyo valor es verdadero. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES QUE TIENEN CUANTIFICADORES Sea la proposición : Su negación será : De la misma forma , si tenemos la proposición: . Su negación será : Ejemplos : i) ii): «x» es un número par. : x es un número par: «x» no es un número par. iii) Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de «Todos los enteros son impares» es «Existen enteros que no son impares» y en símbolos: Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional. Ejemplo : Supongamos la proposición : Todos los alumnos de mi colegio son aplicados. La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario. Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales: p(x) : es alumno de mi colegio q(x) : es aplicado Tenemos : Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta: Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta: Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados. PROBLEMA 1 : Si se dá : = { 1 ; 2 ; 3; 4; … } a) Verificar en ella el valor de las siguientes proposiciones. b) Negarlos simbolicamente mediante el uso de cuantificadores. I) x Î; x2 - 9 = 0 II) $ x Î; x2 - 9 = 0 Resolución : a) Verificando el valor de verdad de las proposiciones: I) falso : porque todo x que pertenezca a debe satisfacer x2= 3, y eso es falso, porque solo satisface x=3, ya que: 32–9=0 II)verdadero : porque existe por lo menos un valor que pertenece a que verifica la proposición. x = 3 b) Negando simbólicamente las proposiciones. I) [ x Î , x2 - 9 = 0] º $ x Î ; ~(x2 - 9 = 0) º $ x Î ; x2 - 9 ¹ 0 verdadERO : porque existen valores tales como x = 4 que verifican la afirmación. II) ~($ x Î, x2 - 9 = 0) º x Î; ~(x2 - 9 = 0) º $ x Î ; x2 - 9 ¹ 0 falso : porque para x =3 , la ecuación se hace igual a cero. PROBLEMA 2 : Sea : A = { 1 ; 2 ; 3 } Determinar el valor de verdad de las siguientes expresiones : I) $ x Î A « y Î A / x2 < y + 1 II) x Î A , $ y Î A / x2 + y2 < 12 III)$ xÎ A « y Î A , $ z Î A / x2 + y2 < 2z2 IV) $ x Î A , $ y Î A « z Î A / x2 + y2 < 2z2 A)VFVV B)VVFV C)VVVF D)FVVV E)VVVV Resolución : I) verdadero : Pues : $ x = 1 ; y Î {1;2;3} Tal que : 1 < y + 1 Þ 0 < y Pues : y Î {1; 2; 3} II) verdadero : Pues : $ y = 1 ; x Î {1;2;3} Tal que: x2 + 1 < 12 Pues x Î {1; 2; 3} III) verdadero : Pues : $ x = 1 ; $ z = 3 ; y Î {1;2;3} Tal que : 1 + y2 < 2(9) Pues : y Î {1 ; 2 ; 3} IV) falso : Pues : $ x = 1 ; $ y = 1 ; 1 + 1 < 2x2 ÜÞ 1 < z2 ÜÞ z > 1 Ú z < -1 Þ No cumple « z Î {1;2;3} Pues falla para : z = 1 RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 3 : Negar los siguientes enunciados : I) $ x , y: [p(x,y) ® q(x,y)] II) y , $ x ,z : p(x,y,z) Resolución : I) ~ [$ x ,y : [p(x,y) ® q(x,y)]] º x , $ y : ~[p(x,y) ® q(x,y)] Aplicando «Condicional y Morgan » º x , $ y : p(x,y) Ù ~ q ( x, y) II) ~ [ y ,$ x ,z : p(x, y, z)] º $ y , x , $ z : ~ p(x,y,z)

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