Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

LEYES LÓGICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL PDF

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Son equivalencias lógicas que nos permiten simplificar un problema y expresarlo en forma más sencilla , las demostraciones se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso. 
Principales leyes : Como bien dijimos arriba , aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber: LEy de la idempotencia : ley conmutativa : ley asociativa : ley distributiva : ley de morgan : ley del complemento : ley de la identidad : ley de la condicional : ley de la bicondicional : LEY DE ABSORCIÓN : PROBLEMA 1 : ¿ Cuáles de las siguientes proposiciones son lógicamente equivalente entre sí ? a) ) b) c) A) ay c B) a y b C) b y c D) todas E) ninguna resolución : Simplificando cada una : a) b) c) Son equivalentes a y c RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 2 : La proposición : ~[(q ® p) Ù (p ® q)]Ú (~p Ù q) Ú (~p Ù ~q)] es equivalente a : A) p ® q B) p ® :q C) :(p ® q) D):(p ® ~q) E):q ® p Resolución : ~[{(~q Ú p) Ù (~p Ú q)} Ú ~p ] Distribuyendo : ~ [{(~ q Ú p) Ú ~ p)} Ù {(~p Ú q) Ú ~p}] V (~p Ú ~p Ú q) ~ [ ~ q Ù (~ p Ú q)] Absorción : ~ [ ~ q Ù ~ p ] º q Ú p º ~ q ® p RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 3 : Simplificar : ~ [q ® (p ® ~ q)] ® [(~ p ® q) « ~ p] A)p Ù ~q B)~p Ú q C) ~(p Ù q) D)~(p Ú q) E)p Ú q Resolución : Por partes : I) ~[q ® (p ® ~ q)] ~[~q Ú (~ p Ú ~ q)] ~[~q Ú ~ p] º q Ù p II) (~ p ® q ) « ~ p [(~ p ® q) ® ~ p] Ù [~ p ® (~p ®q)] [~ (p Ú q) Ú ~ p] Ù [p Ú (p Ú q)] [(~ p Ù ~ q) Ú ~ p] Ù [p Ú q)] ~ p Ù (p Ú q) º ~ p Ù q Reemplazando en la expresión pedida , se tendrá. (q Ù p) ® (~ p Ù q) ~ (q Ù p) Ú (~ p Ù q) ~ q Ú ~ p) Ú (~ p Ù q) ~ q Ú ~ p º ~ (p Ù q) RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 4 : Si p * q º p Ù ~ q , indique la proposición equivalente a : [ ~ (~ p * q) * ~ q ] * ~ p A) q Ù p B) ~q Ù p C)~p Þ ~q D) ~p Ú ~q E) pÞ q Resolución : [~(~p * q) * ~q ] * ~p [~(~p Ù ~q) * ~q ] * ~p [~(~p Ù ~q) Ù ~(~q) ] * ~p [~(~p Ù ~q) Ù ~(~q) ] Ù ~(~p) (p Ú q) Ù q Ù p q Ù p Rpta : ‘‘A’’ PROBLEMA 5 : Simplificar la expresión : [p ® ~(q ® p)] ® ~ q A) p Ú ~q B) p Ù q C) ~p Ú q D) ~p Ù ~q E) p ® ~q Resolución : Tenemos : [p ® ~ (q ® p)]® ~ q Aplicando tres veces condicional : ~ [~ p Ú ~ (~ q Ú p)] Ú ~ q Por Morgan y doble negación : [p Ù (~ q Ú p)] Ú ~ q Por absorción : º p Ú ~ q Rpta:‘‘A’’ PROBLEMA 6 : Simplificar : [~ (p ® q) ® ~ (q ® p)] Ù (p Ú q) A) q B) ~q C) p D) ~p E)p Ù ~q Resolución : Tenemos a : [~(p ® q) ® ~(q ® p)] Ù (p Ú q) Aplicando tres veces condicional : [ (~p Ú q) Ú ~(~q Ú p) ] Ù (p Ú q) Por Morgan: [(~ p Ú q) Ú (q Ù ~p)] Ù (p Ú q) Asociando convenientemente : [~p Ú {q Ú (q Ù ~p)}] Ù (p Ú q) Por absorción , se tiene : (~p Ú q) Ù (p Ú q) Por ley distributiva : [(~p Ù p) Ú q] º F Ú q º q Rpta :‘‘A’’ PROBLEMA 7 : Al simplificar la proposición [~ p ® (q Ù ~ p)]® (~ r Ú ~ p) se obtiene : A) ~ (p Ù r) B) p Ù ~ r C)~ p Ù q D) q Ú ~ r E)~ p Ú qÙ r Resolución : Aplicando 2 veces condicional : ~ [~ (~ p) Ú (q Ù ~ p)] Ú (~ r Ú ~ p) Por Morgan : [~p Ù ~(q Ù ~p)] Ú (~r Ú ~p) [~p Ù (~q Ú p)] Ú (~r Ú ~p) Por absorción : [~ p Ù ~ q) Ú (~ r Ú ~ p) Asociando convenientemente [(~p Ù ~q)] Ú ~p ] Ú (~r) Por absorción , finalmente : ~ p Ú ~ r º ~ (p Ù r) Rpta:‘‘A’’ PROBLEMA 8 : Dado : p # q º {[(p ® q) ® p] Ú q} Ù p Simplificar : [(~ p Ù r) # q] # (p « q) A) p Ú r B) ~p Ù r C) ~p Ú r D) p Ù ~r E) p Ú ~r Resolución : Dado : p # q º {[(p ® q) ® p] Ú q } Ù p Por condicional , dos veces º { [~ (~ p Ú q) Ú p] Ú q } Ù p Por Morgan : º {[(p Ù ~ q) Ú p ] Ú q} Ù p Por ley de absorción , dos veces : º p Luego , en la expresión : [(~ p Ù r) # q] # (p « q) Por definición de (#) , se obtiene : º (~p Ù r) # qº ~ p Ù r RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 9 : Si : p * q º [((p ® q) ® p) Ú q ] Ù p Simplificar : { [(~p Ù r) * q] * (p * q)} * (p Ú r) A) ~ p B) ~ p Ù r C) ~ p Ú r D) ~ p Ù q E) p Ù r Resolución : Vamos a redefinir p * q : p * q º [((p ® q) ® p) Ú q ] Ù p Aplicando dos veces condicional : p * q º [(~ (~ p Ú q) Ú p) Ú q ] Ù p Por Morgan º [( (p Ù ~ q) Ú p) Ú q ] Ù p Por absorción , dos veces : º [p Ú q ] Ù p º p Luego , en la expresión a simplificar : { [(~ p Ù r) * q ] * (p * q) } * (p Ú r) º [(~p Ù r) * q ] * (p * q) , (definición de *) º (~ p Ù r) * q º ~ p Ù r RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 10 : Simplifique el esquema : A) p B) q C) pq D) pq E) pq resolución : Lo equivalente será : RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 11 : Es falso que las clases se suspenden o la universidad cierra , si se inician las vacaciones. Nos han comunicado falsamente que ni las clases se suspenden ni la universidad cierra. Luego : A) Se inician las vacaciones B) No se inician las vacaciones C) Se suspenden siempre las clases D) Las clases no se suspenden E) La universidad cierra Resolución : p : Las clases se suspenden q : La Universidad se cierra r : Se inician las vacaciones. Formalizando : [r ® ~ (p Ú q)]Ù ~(~p Ù ~q) Por la Condicional y Morgan : [~ r Ú ~ (p Ú q)] Ù (p Ú q) Por absorción : (p Ú q) Ù ~ r No se inician las vacaciones RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 12 :

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