IMPLICACIONES Y DEMOSTRACIONES LOGICAS DIRECTAS E INDIRECTAS EJEMPLOS Y EJERCICIOS

IMPLICACIONES NOTABLES 1.1 Ley del Uodus Ponens Su representación simbólica es: [(p ■* q) a p] ♦ q y su esquema clásico: P * Q P ••• q Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la afirmación del consecuente. Ejemplo: "Si en verano hace calor, entonces en invierno hace frío" "En verano hace calor" Luego: "En invierno hace frío" 1.2 Ley del Uodus Tollens Su representación simból ica es: [fp q ) A - * vp y su esquema clásico: p ■* q ••• Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en ia ne gación del antecedente. Ejemplo: "Si Ricardo Palma nació en Lima, entonces es limeño" "Ricardo Palma no es limeño" Luego: "Ricardo Palma no nació en Lima" 1.3 Ley del Silogismo Disymtivo Su representación simbólica es: l(p v q) * vp] + q o l(P v q) A vj] * p y su esquema clásico: p v q o p v q vp v¡ q p Si se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miembro. Ejemplo: "Juan es abogado o es ingeniero" "Juan es abogado 44 Capitulo I: Lógica 1.4 Ley de la Inferencia Equivalente Su representación simbólica es: [(p q) A p] * q y su esquema clásico: p *-► q _P____ ••• q Si uno de los miembros de la premisa bicondicional es verdadera, entonces es verdadera el otro miembro. Ejemplo: "Si x es múltiplo de 2, si y sólo si x es par" "x es múltiplo de 2" Luego: "x es par" 1.5 Ley del Silogismo Hipotético Su representación simbólica es: l(p * q) a (q * r>] + (p * r) y su esquema clásico: p ■* q q * r .-. p * r Si p * q es verdadero y q ♦ r es verdadero, entonces p ■» r es verdadero. Esta ley indica que el condicional es transitivo. Ejemplo: "Si x es un número real tal que x 1+x-6=0, entonces (x+3)(x-2)=0" "Si (x+3)(x-2)=0, entonces: x=3 ó x=2" Luego: "Si x es un número real tal que x*+x-6=0, entonces x=-3 o x=2" 1.6 Ley de la Trans i t ividad Simétrica Su representación simbólica es: l(p *-» q) A (q — >■ r,)] ■* (p (6) = •'-[ íp a q) v r] v (T) (7) = T (Tautología) (Tere. Exc.T.3) (Neutro: E.13c) (Abs. E.9b) (Qond. E. 7a) (Asoc. E.4b) Por lo tanto, es válida la inferencia. DEMOSTRACION INDIRECTA Esta demostración se denomina también demostración por contradicción o por reducción al a b s u r d o . Según el Modus Tollensse puede deducir la negación del antecedente de una condicional cuando se sabe que el consecuente es falso. Si el consecuente es una contra dicción, se sabe que es lógicamente falso. Asi de p -* (q a '*}) se puede deducir vp. (Ley del absurdo). EJEMPLO 1 . Demostrar que: S > 3 Demostración. Sea p : 5 > 3 Se va ha demostrar que p es verdadera. En efecto: (1) Supongamos que 5=3 , o sea: vp (2) Entonces por (1): 5-3=2 (q) (3) Pero: 5-3>0, o sea no es 2 (vq) (4) Entonces de (2) y (3) tenemos: q a ''-q (5) Luego, de (1) y (4): ~p ■* (q a *q) (6) Según la ley del absurdo: l> p * (q a ■'■q,)] p (7) Api¡cando el Modus Tollens a (5) y (6) se tiene que p es verdadera. Nota. Una demostración indirecta se emplea tarhbién en enunciados o inferen cias lógicas válidas que tienen la forma: Los pasos a seguir son los siguientes: (1) Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa (2) De esta premisa adicional, Junto con las premisas dadas, deducir una contradicción. (3) Establecer la conclusión deseada como deducción lógica de las premisas originales. (p 1 a Pz a P j a A P n ^ Q [ ("*q) a P i a p, a A Pn ] *-*p¡ (9) 48 Capitulo 1: Lógica Probaremos que (ti ) es equivalente a (a). En efecto: (ti) s í(vq) a p j a p¡ a a p n l -► vpi = a Pa a P » a a pn] v vp¡ (Cond. E. 7a) = q v [''•fpi A PiA q,)] v a,Pi (Morg. E.6a) s q v lv(Pi a p5A Pn a Pa>3 (Morg. E.6a) = *(pi a Pi A pa a pn) v q (Asoc.E.ía y Conm. E.3b) = fPi a a P i a pn3 * q (Cond. E.7a) (ti) s ( a ) EJEMPLO 2. Si el contrato no se cumple, entonces la construcción del ecH ficio no se terminará a fin de año. Si la construcción no se te rm in a a fin de año, entonces el banco pierde dinero. Por lo tanto, si el contrato no se cumple, entonces el banco pierde dinero. Solución. Sean p:El contrato se cumple q:La construcción del edificio se termina r:El banco pierde dinero Entonces, la inferencia es: (vp * vqj A Cvj + r) ■* (vp r) Demostraremos que es válida por el método indirecto. En efecto: (vp ~ vq) a v(vp + p) * v(vq + r) (p v ''■q) A v(p v r) * v(q v r) (Cond.E. 7a y E.7b) (p v vq) a (vp a vr) -» (%q A vr) (Morg. E.6b) (vp a vr) a vq -► (\q a vr) (Abs. E.9b) vp a (vr a vq) + (vq a vr) (Asoc. E.4a) [ p v v(vr a v q ) ] v ( v q a v r ) (Cond. E.7a) p v i*(vr a vq) v (vr a vj;] fA so c. E.4b) p v [ T ] =T (Tautología) (Tere. Exc.T.3) Por lo tanto, es válida la inferencia.