ESTADISTICA EXPLICACIONES BASICAS PARA PRINCIPANTES PDF

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  • Con el crecimiento de la población los avances científicos y desarrollo de las comunicaciones, la organización de los datos es muy importante. la estadística observa un conjunto de datos muy grande eligiendo un subconjunto de ella, además clasifica y representa los datos; permite su análisis y toma de decisiones. La estadística es aplicada en todas las disciplinas; en el sector salud por ejemplo para observar el desarrollo de una enfermedad, en que medida ha variado en la población; en las empresas se utiliza la estadística para calcular ingresos y egresos, el comportamiento del mercado y utilizar la ubicación de competidores. ESTADISTICA : Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario. Población : Es un conjunto de elementos con una característica común. Por ejemplo: Todos los alumnos matriculados en los Colegios COSMOS. Muestra : Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 60 alumnos del Colegio COSMOS elegidos al azar. Variable Estadística : Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en: I) Cualitativa : Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población. Por ejemplo: la variable "profesión" puede adoptar las modalidades: Ingeniero, Médico, Profesor, etc. II) Cuantitativa : Son variables que pueden ser expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc. Las variables cuantitativas pueden ser a su vez: ii-1) Discretas : Cuando toma valores enteros. Por ejemplo: número de alumnos, número de colegios en el distrito de Lima, número de hijos, etc. ii-2) Continuas : Cuando puede tomar cualquier valor numérico, enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, el sueldo, etc. Distribución de Frecuencias Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de la muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar “k” valores diferentes: x1, x2, x3, ..., xk. Frecuencia Absoluta Simple (f1) También llamada simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor “xi”. Se cumple : f1 + f2 + f3 + ....... + fk = n en notación sigma: Frecuencia Acumulada (Fi) : Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas simples. Así tenemos: Frecuencia Relativa Simple (hi) : Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples. Así tenemos: Las frecuencias relativas también se pueden expresar en tanto por ciento (%), bastará con multiplicar por 100 la frecuencia relativa. Ejemplos: 0,32 32% 0,07 7% Representación de Datos ELABORAR E INTERPRETAR CUADROS DE CARÁCTER ESTADÍSTICO Los cuadros o tablas estadísticas que son elaboradas a partir de un conjunto de datos definidos, es importante desde el punto de vista práctico. Así tenemos en negocios, la administración o la educación en las que hay frecuentemente que presentar los resultados de los trabajos e investigaciones realizados durante un determinado tiempo, estos cuadros o tablas estadísticas son llevadas mediante gráficas y diagramas de los cuales mencionaremos: * Gráficos de barras. * Gráficos de sectores circulares. * Histogramas. * Gráficas poligonales o polígonos de frecuencia. Ejemplo 1: Al preguntar a 50 alumnos del 2do año por sus preferencias por las carreras profesionales que desean aspirar cuando terminen sus secundaria, estos contestaron a su profesor, el cual recopiló sus respuestas en el siguiente cuadro: Los datos de este estudio pueden ser presentados mediante: cuadros diagramas o representaciones gráficas, informes, etc. A continuación presentamos los diagramas más usados: I) Gráfica poligonal o de línea * En el eje horizontal se ubican a intervalos regulares las profesiones. * En el eje vertical se colocan las frecuencias. * Se representa cada par ordenado (profesión, frecuencia) por un punto. * Se unen los puntos, cerrando el polígono. II) Gráficas de barras Cada barra se traza teniendo en cuenta la magnitud de la frecuencia que se representa. III) HISTOGRAMA Consiste en una serie de rectángulos cuyas bases están en el eje horizontal con centros en los puntos que indican las profesiones. Su longitud es igual a la de los intervalos entre dichos puntos y su altura, al de las frecuencias. Sus áreas son proporcionales a sus alturas. IV) sectores circulares : Ingeniería: Derecho: Medicina: Educación: Contabilidad: Otros: OBSERVACIoNes : A un círculo se le considera como representativo estadístico de un todo , del 100% de la unidad ,etc. Su empleo gráfico es muy importante y por eso frecuente en la Estadística. Para esta representación hay que tener en cuenta fundamentalmente, lo siguiente: 1°) La circunferencia tiene 360°. 2°) Habrá tantos sectores circulares como intervalos se consideren. 3°) Los datos o elementos estadísticos se redondean lo más que se pueda. 4°) Para hallar el número de grados del sector circular correspondiente a cada intervalo, aspecto, rubro, etc. Considerados , se divide, 360 en partes proporcionales a la frecuencia de aquellos. Así, si se quiere dividir 360 en partes directamente proporcionales a 2 ; 4 y 6, se tiene: Ejemplo 1 : Se obtiene una encuesta de 3000 personas acerca de las compras de vestidos que los usan; de las cuales el 20% compran al contado y el resto a crédito; se procede así: «como el 100% representa el número de personas que compran ,representan 360° que tiene el círculo, entonces el 20% que compra al contado representa 72°(hallado por una regla de tres simple trazamos el ángulo central de 72°». Por regla de tres: Ejemplo 2 : A continuación se muestra el sueldo de una persona durante el año. 1)¿En qué mes ganó menos? RPTA : Enero 2) ¿En qué mes ganó más? RPTA : Diciembre 3)¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año? RPTA: 4) ¿En cuántos meses ganó más del sueldo promedio? RPTA: 4…(S, O, N y D). Ejemplo 3: A continuación se muestra la población de hombres y mujeres de cierta localidad durante el período 2010 –2019. 1) ¿Cuál fue la población en 2010? RPTA: (10+ 5) 1000 = 15000 2) ¿Cuál era la población en 2016 ? RPTA: (20+10) 1000 = 30000 3) ¿En cuánto aumenta la población del año 2013 al año 2019? RPTA: (25+15)100 – (15+8)1000 = 17000 4) Del año 2010 al año 2019 la población de mujeres ¿aumentó o disminuyó? ¿En cuánto? RPTA: aumentó en: (15 – 5)1000 = 10000 Ejemplo 4: En una encuesta se obtuvo la siguiente información, acerca del consumo de los productos “A”, “B”, “C”, “D”y “E”; de un total de 200 personas encuestadas. 1)¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más el producto “A” que el producto “C” ? RPTA: 40% – 15% = 25% 2) ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto“B”? RPTA: 3) ¿Qué porcentaje los consumidores prefieren más el producto “C” que el producto “E”? RPTA : 15 % – 5% =10% 4) ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos “D” y “E”? RPTA: Ejemplo 4: Rendimiento de la cosecha “x”, a diferentes temperaturas e intensidades luminosas. 1) El máximo rendimiento con intensidad luminosa I, se alcanza aproximadamente con una temperatura de: RPTA : 20° C 2) ¿Qué rendimiento se alcanza aproximadamente con una temperatura de 30° e intensidad luminosa III ? RPTA: aproximadamente 21 3) Para una mejor cosecha, ¿qué intensidad luminosa conviene y a qué temperatura? RPTA: I a 20° C Tablas Estadísticas Es un arreglo de filas y columnas en los cuales se encuentran distribuidos los datos. Ejemplo 1 : De un grupo de 200 alumnos se obtuvo la siguiente información, respecto a sus edades. xi = Variable estadística fi = Frecuencia absoluta simple Gráficos Estadísticos : Se pueden representar mediante barras o sectores circulares. Ejemplo 2 : Con los datos del ejemplo 1, construimos los siguientes diagramas. Ejemplo 3 : El siguiente gráfico nos muestra el número de pacientes atendidos en un centro de salud, en los años 2020; 2021; 2022 y 2023. Construiremos la tabla de datos estadísticos: Cálculo de: F1 = f1 = 200 F2 = f1+ f2 = 200 + 500 = 700 F3 = .......................... * H1 = h1= 0,10 H2 = hi + h2 = 0,10 + 0,25 = 0,35 H3 = ......................... Ejemplo 4 : A un seminario empresarial asistieron 80 personas y se registró las edades de los participantes en los siguientes intervalos: Luego de completar el cuadro interpretar los siguientes datos: f4=24 ; hay 24 personas cuyas edades varían entre 35 y 40 años. F4 = 62 ; hay 62 personas cuyas edades varían entre 20 y 40 años. h3=0,25 = 25 %; el 25 % de los asistentes tienen entre 30 y 35 años. H2=0,225=22,5 %; el 22,5 % de los asistentes tienen entre 20 y 30 años. Nota: Cuando la variable toma muchos valores, como el caso anterior, imagínese hacer una tabla con cada una de las edades desde los 20 años hasta los 50 años, entonces la variable se agrupa adecuadamente en intervalos. Al punto medio de cada intervalo se denomina Marca de clase, que es un valor representativo para el intervalo. Método para determinar el número de intervalos para una variable continua A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último Examen Bimestral de Aritmética. 10 15 11 08 12 10 13 10 12 10 12 17 10 12 11 14 15 20 10 12 10 20 14 13 06 16 06 06 14 18 07 05 12 11 02 04 14 18 16 17 Determinación del Rango (R) : Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos: Del ejemplo: R = 20 – 02 Þ R = 18 Determinación del número de intervalos (k) : Consiste en dividir el rango en un número conveniente de intervalos, llamados también "Intervalos de clase". Estos intervalos son generalmente del mismo tamaño. Podemos aplicar las siguentes alternativas: a) Si "n" es el número de datos, entonces en el ejemplo: n = 40 Þ Puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos b) Si "n" es el número de datos, entonces: en el ejemplo: n = 40 Þ k = 1 + 3,3log40 = 6,28 puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos. Los dos métodos nos dan el posible número de intervalos, la elección es arbitraria. Tomaremos en este caso: k = 6 intervalos, porque el rango es R = 18 y nos daría una cantidad exacta. Determinación del tamaño de los intervalos (C) : Dividimos el rango (R) entre el número de intervalos (k). También se le denomina Amplitud de clase. En el ejemplo: Determinación de los límites de los intervalos : Generalmente el límite inferior del primer intervalo es el menor de los datos, luego se agrega la amplitud de clase (C) para obtener el límite superior del intervalo. En el ejemplo: MIN = 02 [límite inferior] C = 3 02 + 3 = 05 [límite superior] 1er. intervalo: [02;05> 2do. intervalo: [05;08> Finalmente tendremos: (Realice el conteo y complete el cuadro) Medidas de tendencia central Moda (Md) : Es el valor de la variable que más se repite o el de mayor frecuencia. Ejemplos: Hallar la moda en cada caso: a) 21; 30; 18; 21; 15; 20; 21; 15 ® Md = 21 b) 15; ; 20; ; 12; 15; 19 ® Mediana (Me) : Si tenemos “n” datos ordenados en forma creciente o decreciente, la mediana es el valor central si “n” es impar, y es igual a la semisuma de los valores centrales si “n” es par. Ejemplos: Hallar la mediana en cada caso. a) 17; 20; 21; 23; 26; 32; 35 ® Me = 23 b) 21; 25; 16; 19; 28; 31 Ordenando: 16; 19; ; 28; 31 ® Me = = 23 Media aritmética (M.A.) o promedio : Es la suma de todos los valores observados de la variable, dividida entre el número total de datos. Ejemplo: Hallar la media aritmética de: 16; 18; 21; 21; 19; 15 Þ M.A.= = 18,33 Para datos tabulados : Media aritmética (M.A.) donde: xi : los valores que puede tomar “x” o la marca de clase en el caso de intervalos. fi : frecuencia absoluta de intervalo “i”. n : número de datos. Ejemplo: Las edades de un grupo de deportistas fue agrupada tal como muestra la tabla. Hallar la edad promedio de este grupo de personas. La media aritmética o promedio de todos los deportistas participantes es 19,3 años. Moda (Md) : Para calcular la moda de “n” datos tabulados, primero se ubica el intervalo que tiene la mayor frecuencia denominándose a éste clase modal y luego utilizamos la siguiente fórmula: donde: Li : límite inferior de la clase modal. d1: diferencia de frecuencias absolutas entre la clase modal y premodal. d2 : diferencia de frecuencias absolutas entre la clase modal y postmodal. C : amplitud de clase. En el cuadro anterior, el intervalo de mayor frecuencia es el tercero [18 – 22>; entonces: Li: 18 ; d1: 12 – 10 = 2 d2: 12 – 9 = 3 ; C: 22 – 18 = 4 Luego: La moda de todos los deportistas es 19,6. Mediana (Me) : donde: Lm : límite inferior de la clase mediana C : ancho de la clase mediana Fm-1: frecuencia absoluta acumulada de la clase precedente a la clase mediana fm: frecuencia absoluta de la clase mediana Observación: La clase mediana es aquella cuya frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a la mitad de los datos por primera vez. Del cuadro anterior, la mitad de los datos será: en la columna de la frecuencia acumulada (Fi) buscamos aquella frecuencia que es mayor a 20 por primera vez, que será el tercer intervalo [18 – 22>. Lm: 18 ; Fm-1: 16 fm: 12 ; C: 22 –18 = 4 Luego: La mediana de todos los deportistas es 19,3. ¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son cualitativas? - Edad - Profesión - Nacionalidad - Años de servicio - Horas trabajadas a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5 ¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son cuantitativas continuas? - Estatura - Número de hijos -Peso - Sueldo - Número de cursos a)1 b)2 c)3 d)4 e) 5 Enunciado: Se tomó una evaluación a un grupo de alumnos de cuarto año y los resultados obtenidos fueron: 97 80 75 120 92 78 105 82 79 87 82 92 105 81 76 70 84 87 91 84 Determinar el rango (R). a)40 b)35 c)50 d)55 e) 60 El posible número de intervalo es: a)6; 7 b)7; 8 c)4; 5 d)2; 3 e) 8; 9 Si consideramos como número de intervalos k = 5, ¿cuál será los límites del último intervalo? a)[115; 120] b)[116; 120] c)[110; 120] d)[112; 120] e)[105; 120] Con la cosideración anterior, ¿cuál sería los límites del tercer intervalo? a)[90; 95> b)[90; 98> c)[90; 100> d)[80; 90> e)[70; 80> Enunciado: Se muestra la distribución de los trabajadores en una empresa de acuerdo a su ocupación: ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a las secretarias? a)0,15 b)0,2 c)0,25 d)0,3 e) 0,35 Si se despiden ocho administradores, seis abogados y 16 obreros, ¿cuál es la frecuencia relativa de los contadores, luego de estos cambios? a)0,35 b)0,13 c)0,27 d)0,42 e)0,21 Enunciado: Se muestra la tabla de frecuencias de los rangos de sueldos que ganan un conjunto de profesores de colegios particulares. Hallar “a + b + c” a)15,2 b)18,1 c)12,2 d)16,1 e) 17,2 ¿Cuántos profesores ganan 1 400 soles o más? a)6 b)12 c)15 d)10 e) 8 Del siguiente histograma, determinar el número de personas que tiene un gasto mensual de 350 a 650 soles. a)30 b)35 c)42 d)47 e) 62 Enunciado: La distribución de frecuencias mostrada corresponde a los pesos de 60 paquetes registrados en una empresa de encomiendas. Luego de completar el cuadro responda: ¿Cuál es el intervalo con la mayor frecuencia absoluta? a)1° b)2° c)3° d)4° e) 5° Hallar “F3 + f4” a)51 b)33 c)48 d)42 e) 55 Hallar “h1 + h4 + H2” a)0,5 b)0,6 c)0,3 d)0,7 e)1,2 ¿Cuántos paquetes pesan 700 ó más gramos? a)25 b)27 c)30 d)12 e) 15 Enunciado: En una encuesta a 30 alumnos se obtuvo los siguientes datos, respecto a sus pesos en kilogramos: 54 42 58 64 70 46 46 52 62 66 58 47 45 40 56 55 64 66 54 52 48 61 63 60 47 58 52 54 57 56 Determine el rango (R). a)40 b)45 c)30 d)45 e) 50 El posible número de intervalos (k) es: a)5; 6; 7 b)7; 8; 9 c) 2; 3; 4 d)8; 9; 10 e)3; 4; 5 Si consideramos el número de intervalos k = 6, ¿cuál será los límites del primer intervalo? a)[40 ; 46> b)[40 ; 45> c) [45 ; 44> d)[36 ; 59> e)[36 ; 50> ¿Cuál será los límites del intervalo de mayor frecuencia? a)[40 ; 45> b)[45 ; 50> c)[50 ; 55> d)[55 ; 60> e)[60 ; 65> ¿Cuántos alumnos pesan menos de 55 kg? a)10 b)12 c)14 d)18 e) 20 ¿Qué tanto por ciento de alumnos pesan menos de 55 kilogramos? (Aprox.) a)42,3 % b)46,6 % c)40,3 % d)38,7% e)36,4 % Determinar el tanto por ciento de alumnos que pesan 60 kg o más. a)30 % b)42 % c)45 % d)20 % e) 60 % Determinar el tanto por ciento de alumnos que pesan menos de 65 kg. a)40 % b)90 % c)80 % d)50 % e) 60 % Hallar la moda en cada caso: I) 75; 81; 83; 65; 81; 73; 75; 86; 81 Md = ................................ II) 156; 152; 153; 152; 155; 156; 155 Md = ................................ III) 56; 53; 48; 46; 56; 48; 37 Md1 = .............. ; Md2 = ......... Hallar la mediana en cada caso: I) 63; 64; 73; 78; 79; 79; 81 Me = ................................ II) 15; 21; 18; 27; 31; 33; 25 Me = ................................ III) 34; 28; 25; 32; 41; 37; 26; 43 Me = ................................ Hallar la media aritmética en cada caso: I) 15; 21; 28; 32; 18 M.A. = ................................ II) 33; 21; 42; 52; 48; 36 M.A. = ................................ III) 456; 475; 508; 513; 518 M.A. = ................................ Hallar la mediana y moda para cada conjunto de datos. I) 23; 18; 20; 18; 15; 22; 26 Me = .............. ; Md = .......... II) 10; 6; 10; 13; 12; 14; 10; 12 Me = .............. ; Md = .......... Hallar la media aritmética de las notas obtenidas por un grupo de estudiantes, cuya distribución de frecuencias es: a)11,2 b)11,7 c)10,4 d)9,8 e) 9,2 Las edades de un grupo de profesores está mostrada en el siguiente cuadro de frecuencias. Hallar la edad promedio si el ancho de los intervalos son iguales. a)33,8 b)34,2 c)35,2 d)35,9 e) 36,4 Completar el siguiente cuadro y calcular el promedio de los pesos en gramos de un grupo de paquetes. a)210 b)215 c)225 d)240 e) 245 Del problema anterior, hallar la moda. a)212,7 b)224,5 c)219,2 d)227,6 e) 232,4 Hallar la moda de la siguiente distribución que muestra las edades de un grupo de personas. a)35,23 b)33,05 c)29,66 d)31,33 e) 32,15 Los sueldos semanales de un grupo de obreros están distribuidos en la siguiente distribución de frecuencias con ancho de clase constante. Hallar el sueldo promedio y cuántos trabajadores ganan S/.240 ó mas? a)214,2 y 42 b)210,4 y 45 c)217,8 y 42 d)220,3 y 50 e)219,4 y 45 El cuadro muestra el número de pedidos pasados por un grupo de vendedores. Hallar la moda si los anchos de clase son constantes. a)428,12 b)454,76 c)436,38 d)464,26 e) 451,18 Del siguiente histograma hallar el peso promedio de un grupo de personas. a)65,7 b)60,2 c)58,2 d)54,6 e) 69,1 Una muestra se dividió en seis intervalos siendo las marcas de clase: 40; 46; 52; y las frecuencias absolutas. Hallar la suma de la moda y la mediana. a)117,32 b)112,45 c)114,32 d)116,65 e)118,23 Enunciado: Un grupo de 80 trabajadores de una empresa tiene la siguiente distribución de frecuencias respecto a sus edades (Las amplitudes de los intervalos es la misma). Hallar la moda de las edades. a)27,33 b)25,42 c)29,33 d)28,66 e) 30,66 Hallar la mediana de las edades. a)27,33 b)29,33 c)28,33 d)31,36 e)32,66 ¿Cuál es el tanto por ciento de los trabajadores que tienen 34 ó más años? a)25 % b)30 % c)40 % d)24 % e) 20 % Enunciado: El siguiente cuadro muestra la distribución de frecuencias del tiempo en minutos que emplea un grupo de alumnos en ir de su casa al colegio: Si todos los intervalos tienen el mismo ancho de clase calcule la mediana. a)28,2 b)2,75 c)26,6 d)24,3 e) 22,8 Hallar “m”. a)10 b)15 c)20 d)25 e) 30 Hallar el promedio de los tiempos de viaje en minutos. a)27,2 b)27,8 c)23,2 d)26,5 d) 24,6 Se muestra la nota de 11 alumnos en un examen de Matemática: 10; 12; 9; 12; 8; 14; 12; 10; 11; 12 y 8. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual que la mediana, ¿cuántos aprueban? a)4 b)5 c)6 d)7 e) 8 Enunciado: Las edades de un grupo de personas asistentes a una reunión, tiene la siguiente distribución de frecuencias: ¿Cuál es la moda? a)10 b)12 c)19 d)18 e) 15 ¿Cuál es la media aritmética de las edades? a)18,5 b)19,2 c)19,5 d)19,7 e)20,2 (las preguntas del 01 al 04 inclusive se refiere al siguiente gráfico) ¿Qué cantidad de café aproximadamente se produjo en 2021? (en millones de toneladas) A) 2 ,5 B) 3,4 C) 4 D) 2,6 E) 3 ¿En qué año disminuyó la producción? A) 2020 y 2022 B) 2020 y 2024 C) 2019 y 2023 D)2020 y 2023 E) 2019 y 2022 ¿En cuántos millones de toneladas aumentó la producción entre 2020 y 2022 (aprox)? A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 0,5 E) 1 ¿En qué porcentaje aumentó la producción entre 2020 y 2022? (Aprox) A) 44% B) 55% C) 50% D) 36% E) 75% La diferencia entre le número máximo de casas construidas en un año y el número mínimo en el período mostrado es: A) 75 B) 160 C) 175 D) 190 E) 210 El número total de casas construidas en el período 2014 –2018. ¿Cuántas veces contiene al número de casas construidas en 2014? A) 11,8 B) 9 C) 7 D) 5 E) 3,5 ¿En qué porcentaje aumentó la construcción de cosas entre 2015 y 2016? A) 50% B) 30% C) 20 D) 75% E) 60% ¿En qué año hubo mayor aumento? A) 2014 B) 2015 C) 2016 D) 2017 E) 2018 (Gráfico para las preguntas 09 a 11 inclusive) Se ha encuestado a 78 obreros de distintas fábricas acerca de lo que ganan mensualmente en sus centro de labores. Los datos obtenidos se presentan en el siguiente gráfico de barras: ¿Cuántos obreros ganan de 400 a 500 soles? A) 18 B) 24 C) 30 D) 27 E) 21 ¿Cuántos ganan menos de 600 soles? A) 68 B) 48 C) 54 D) 70 E) 63 ¿Cuántos ganan más de 600 soles? A) 13 B) 15 C) 16 D) 27 E) 21 (Gráfico para las preguntas 12 al 15 inclusive) En el gráfico se muestra la distribución de los gastos de un hogar ¿Cuántos grados corresponden al sector alimentación? A) 135° B) 120° C) 144° D) 90° E) 162° Si los gastos en el sector “Casa” ascienden a 450 soles. ¿Cuánto se gasta en alimentos? A) S/.500 B) S/.750 C) S/.800 D) S/.600 E) S/.720 ¿Cuánto se asigna para ahorrar, si este rubro es la mitad del sector correspondiente a otros? A) S/.300 B) S/.150 C) S/.200 D)S/.1800 D)S/.1600 ¿Cuál es el monto total de ingresos del hogar? A) S/.1400 B) S/.1200 C)S/.1600 D) S/.1800 E) S/.1500 ¿Cuántos alumnos consiguieron la puntuación más alta? Un profesor intenta determinar el grado de aprendizaje de sus alumnos en cierto tema. De 10 puntos posibles el grupo formado por 25 alumnos logró los siguientes calificativos A) 2 B) 3 C)4 D) 5 E)1 ¿Qué porcentaje los alumnos consiguió la nota más alta? A) 8% B) 10% C) 12% D) 15% E) 2% Si se considera que la nota mínima aprobatoria es ¿Cuántos alumnos aprobaron? A) 12 B) 15 C) 9 D) 10 E) 16

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