Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

DIVISIÓN ARITMÉTICA EJERCICIOS RESUELTOS PDF

DIVISIÓN Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números enteros llamados dividendo y divisor se obtiene un tercer número llamado cociente que nos indica el número de veces que contiene el dividendo al divisor. 
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  • Por ejemplo, dividamos: La cantidad de unidades que se posee , la cual se va agrupar se denomina dividendo , al tamaño del grupo en el cual se esta agrupando el dividendo ; se denomina divisor y la cantidad de grupos obtenidos de denomina cociente , teniéndose como consecuencia que sobre o falte unidades , a la cual se denomina residuo. Ejemplo : DIVISIÓN ENTERA : Es aquella división donde todos sus términos son enteros , se clasifica en : I) Division Exacta : Cuando al agrupar las unidades no sobra ni falta unidades , es decir , se considera residuo cero. Ejemplo : En general : II) División Inexacta : Cuando al agrupar las unidades sobran o faltan unidades para formar un grupo más . *Cuando sobra unidades se dice que la división es inexacta por defecto. * Cuando falta unidades para formar un grupo más, se dice que la división es inexacta por exceso. Ejemplo : Observaciones : * Tanto el dividendo y el divisor en ambas divisiones son iguales. * El cociente por exceso , en una unidad más en el cociente por defecto. * Lo que sobra o falta unidades suman exactamente un grupo. En general : Donde rd : Residuo por defecto re : Residuo por exceso Propiedades de la división inexacta I) (cero) < (residuo) < (divisor) II) * Cuando la división es inexacta , y no se específica el tipo , se asume que es inexacta por defecto. LEYES FORMALES DE LA DIVISIÓN I) Ley de Uniformidad : Si se dividen miembro a miembro dos igualdades (con la segunda igualdad diferente de cero), el resultado es otra igualdad , así : II)Ley del Inverso Multiplicativo Para todo número N diferente de cero , existe uno y sólo un elemento denominado inverso multiplicativo denotado por N –1 ó tal que III) Ley Distributiva : El cociente de una suma o resta entre un número es igual a la suma o resta los cocientes de cada uno de los términos entre el número dado. ALTERACIONES DE LA DIVISION INEXACTA I)Al sumar unidades AL dividendo : Al sumarle un cierto valor al dividendo , este mismo se le suma al residuo . Si el residuo que se obtiene es mayor o igual al divisor , se divide entre él , el cociente que se obtenga será el número de unidades que aumenta el cociente de la división inicial y el residuo que deja será el nuevo residuo de la división. Ejemplo : Luego : Cociente aumenta en 1 Nuevo residuo : 4 II) Al multiplicar unidades al dividendo A) Alterando el divisor : Si se multiplica al dividendo y al divisor por una cantidad , el cociente no varía y el residuo quedará multiplicado por la misma cantidad . Ejemplo : B) Alterando el cociente : Si se multiplica al dividendo y al cociente por una misma cantidad el residuo quedará multiplicado por la misma cantidad , teniendo en cuenta las observaciones del caso (I) Ejemplo : Luego: Cociente 8×9 aumentan en 1. El nuevo residuo : 13 CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE La cantidad de cifras del cociente de dos números , puede ser como mínimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del dividendo y divisor ; y como máximo la diferencia aumentada en una unidad. ¿Cuántas cifras como mínimo y como máximo puede tener ‘‘q’’ ? Cuando el Númerador y denominador tienen varios factores Primero se calcula la cantidad de cifras como máximo y como mínimo , tanto del númerador como denominador , mediante la regla del producto . luego para hallar el máximo del cociente se compara el máximo del numerador con el mínimo del denominador , analogamente para hallar el mínimo del cociente se compara , el mínimo del numerador con el máximo del denominador , ambos mediante la determinación de la cantidad de un cociente. Ejemplo : A , B y C tienen 12 ; 9 y 5 cifras respectivamente.¿Cuántas cifras tiene E ? Resolución : Problema 1 : Al efectuar una división se obtiene 4 de cociente y 3 de residuo; al agregar 4 unidades al dividendo; el cociente aumenta en 1 y no queda residuo. Hallar el dividendo. A) 24 B) 32 C) 31 D) 43 E) 57 Resolución: Del enunciado: El dividendo es: D = d × 4 + 3 D = 7 × 4 + 3 = 31 RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 2 : Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta el cociente: A) 21 B) 11 C) 31 D) 41 E) 71 Resolución: Dato: El divisor es mayor que el resto 6 además: Luego: Entonces el cociente pedido será: 11 RPTA: “B” Problema 3 : Al sumar dividendo y divisor resulta 21 veces el residuo y al restarlo resulta 11 veces el residuo, hallar el cociente. A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4 Resolución: Del enunciado: RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 4 : Un número natural N se divide entre 15, por defecto y por exceso, observandose que: el resto por exceso es mínimo y el cociente por defecto igual a 3. Calcular la suma de cifras de N. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN: Dado que: Ahora Piden: 5+9=14 RPTA : “E” Problema 5 : Al dividir N entre 481 se obtuvo un cociente entero positivo que es la quinta parte del residuo. ¿Cuántos valores puede tomar N? A) 480 B) 95 C) 96 D) 192 E) más de 500 Resolución: Formando la división: Para saber cuantos valores toma N, es necesario saber cuantos valores toma q. Como q entero positivo Además residuo: 5q Donde Valores de q: Finalmente N toma 96 valores. RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 6 : El dividendo en una división entera es un número de 3 cifras, el divisor es el complemento aritmético del dividendo, el cociente es 65 y la razón aritmética del divisor y el resto es 5; calcular la suma de cifras del dividendo. A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 RESOLUCIÓN: Ahora , por el algoritmo de la división: Despejando, se tendrá: Piden: 9+8+5=22 RPTA : “e” Problema 7 : Al dividir N entre 30 el cociente termina en 12 y el residuo es máximo, calcule la suma de las tres últimas cifras de N. A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E)21 Resolución: En la división, hallemos el residuo máximo. Desarrollando N. Sumando las 3 últimas cifras de N se tiene. 3 + 8 + 9 = 20 RPTA : ‘‘D’’ Problema 8 : En una división inexacta el dividendo es 2604, el divisor es una vez más que el cociente y el cociente es dos veces más que el residuo. Calcule la suma de los términos de la división. A) 2676 B) 2712 C) 2684 D) 2718 E) 2724 Resolución: D = 2064 d = q + q = 2q q = r + 2r = 3r d = 6 r En la división D=dq + r 2604=6r×3r+r Resolviendo : D + d + q + r=2724 RPTA : ‘‘E’’ Problema 9 : Si cada letras es una cifra en el desarrollo de la división. Calcule la suma de a+b+c+d+e+p. A) 16 B) 20 C) 22 D) 29 E) 33 Resolución: Analizando la operación de división encontraríamos algunos valores: Luego tendríamos: Reemplazando los valores hallamos tendríamos: a+b+c+d+e+p=9+7+1+8+3+5=33 RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 10 : Calcule la suma de cifras del máximo dividendo de la siguiente división sabiendo que cada * representa una cifra. A) 33 B) 22 C) 27 D) 25 E) 30 Resolución: De (1): 4 *× * = *** Luego: 44 * – 4 * * = 2 Reemplazar en la división: De (2): para que 49×* Sea máxima deberá ser: 49×6=294. Se pide: 4+4+3+9+7=27 RPTA: “C” pROBLEMA 11 : Un alumno debía dividir entre cierto número, pero a “b” y “c” los cambió por 1 y 2 respectivamente resultando un cociente inferior en 400 unidades, donde el resto no se alteró. Calcule el número de valores de . A) 21 B) 37 C) 8 D) 110 E) 11 RESOLUCIÓN: Debió dividir: Pero dividió: de: (I)–(II): Luego los valores de son: RPTA : “A” PROBLEMA 12 : En la siguiente división, calcular la suma de cifras del cociente. A) 13 B) 17 C) 8 D) 9 E)11 RESOLUCIÓN: Haciendo un minucioso análisis, concluiremos que: * 5 * – *×3 2 5 = 0 Debe ser 2 la última cifra del cociente *×3 2 5 = * 9 * * Tanteando, llegaremos a que esta cifra es 6, la cual es la 2da. cifra del cociente El cociente es: 162 Piden: 1+6+2=9 RPTA : “D” PROBLEMA 13 : Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 12 de cociente y un cierto residuo, Al dividir el C.A. del dividendo entre el C.A del divisor se obtiene 9 de cociente y de residuo el C.A. del anterior residuo, hallar el divisor. A) 27 B) 27 C) 32 D) 34 E) 30 Resolución: Sea: luego: RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 14 : En una división de términos enteros, la suma de los cuatro términos es 271. Si se multiplica al dividendo y divisor por 4, la suma de términos sería 1030. Halle el dividendo. A) 127 B)203 C) 237 D) 243 E) 224 resolución: Del enunciado plantearemos: D=dq+R ...(división Inicial) D+d+q+R=271 ...(I) Multiplicando por 4 a D y d: (4d)=(4d)q+4R 4D+4d+q+4R=1030 ...(II) De (I) y (II): q=18 ; D+d+R=253 (18d+R)+d+R=253 ...(d13) RPTA : ‘‘C’’ PROBLEMA 15 : Calcule la suma de cifras del divisor y el dividendo de la siguiente división: Siendo el dividendo lo máximo posible, dé como respuesta la suma de ellos. A) 31 B) 17 C) 15 D) 36 E) 24 resolución: Se deduce que: d=96 Cociente máximo=192 D=96(192)+3=18435 : En forma similar se obtiene: ...(mayor) Cociente máximo=697 D=16(697)+ 3=11155 Mayor D=18435 ; d=96 suma 1+8+4+3+5+9+6=36 RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 16 : Si: halle la suma de valores que puede tomar la suma de cifras del dividendo. A) 36 B) 27 C) 28 D) 35 E) 30 resolución: Como: 2×(...c)= ... 0 Se toma c= 5 (con c=0 no se halla solución) Luego b=2; 3; 4 Además de: Se obtiene: n=2b+1 Suma de las cifras del dividendo: 6+4+5=15 ...(a ) Suma cifras del dividiendo: 9+6+5=20 ...() De: (a )+(): 15+20=35 RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 17 : Al dividir entre N se observa que el producto de los cocientes por exceso y por defecto es 506. ¿Cuántos valores puede tomar N si el residuo es 24? A) 6 B) 4 C) 2 D) 7 E) 9 resolución: Dividendo: D=22N+24 además: 22N+24=...6 Luego: N= ... 1 ó N= ... 6 De : RPTA : ‘‘E’’ PROBLEMA 18 : La suma de los cuatro términos de una división es 1079. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 3 y se vuelve a realizar la división, la suma de los nuevos términos es 3185. Calcule el dividendo original. A) 912 B) 985 C) 983 D) 989 E) 812 resolución: de las expresiones anteriores, se resuelve: q=26 además D = dq+R = 26d+R reemplazando: (26d+R)+d+26+R=1079 27d+2R=1053 como: 27d < 1053 d < 39 d=37 : R=27 D=989 d=35 : R=108 ... R < d...NO CUMPLE D = 989 RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 19 : El cociente y el residuo de una división inexacta son 37 y 19 respectivamente. Si se le aumenta al dividendo 157 y se vuelve a dividir, el cociente aumenta en 8 y el residuo disminuye en 11. Determinar la suma de cifras del dividendo inicial. A) 22 B) 13 C) 18 D) 17 E) 9 resolución: De (I) y (II): D=796 Se pide: 7+9+6=22 RPTA : ‘‘A’’ PROBLEMA 20 : Al dividir un número capicúa de 3 cifras se obtiene de cociente un número capicúa de 2 cifras. Si además el producto de los residuos por defecto y exceso es 72. Determinar el producto de las cifras del mayor dividendo dado que el residuo por defecto es 9. A) 96 B) 245 C) 150 D) 200 E) 576 resolución: De: RD= 9 RE = 8....( producto es 72 ) divisor: d= RD+ RE = 9+8 = 17 Se obtiene solución: Se desea: 7 × 5 × 7 = 245 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 21 : Se divide un número de cuatro cifras entre otro de dos cifras, obteniéndose como cociente 181, y como residuos parciales a 17; 2 y 5 respectivamente . Determinar la suma de cifras del mayor dividendo posible. A) 20 B) 27 C) 31 D) 28 E) 32 resolución: suma de cifras=27 RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 22 : Se realiza la división de los números 4609 y 218. ¿Cuántos números pueden sumarse al dividendo, de tal manera que el nuevo cociente sea 23? A) 213 B) 215 C) 225 D) 218 E) 220 resolución: Sumando x al dividendo: el residuo varía 0 a 217 x toma 218 valores RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 23 : En una división inexacta, el dividendo termina en 95, el cociente en 87 y el residuo en 72. Halle la suma de las dos últimas cifras del divisor. A) 10 B) 9 C) 8 D) 11 E) 12 resolución: D = dq+R ... 95 = d × (.... 87)+.... 72 ... 23 = d × (.... 87) Se reconstruye: RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 24 : Al resto de una división le falta 3 unidades para tomar su máximo valor como resto. Si al dividendo se agrega 309 unidades, el cociente aumentará en 6 unidades y el residuo será nulo. Entonces el divisor es : A) 45 B) 55 C) 60 D) 61 E) 65 RESOLUCIÓN: Como al resto le faltan 3 unidades para que sea máximo, entonces si le agregamos 4 unidades, el cociente aumenta en una unidad. Ahora si aumentamos 309 unidades, con las 305 restantes harán que el cociente aumente en 5 unidades, por tanto el divisor está contenido 5 veces en 305 RPTA : ‘‘D’’ PROblema 25 : El número de cifras de un número positivo A es el doble del número de cifras del número positivo B y el cuádruple del número de cifras del número positivo C. si D tiene d cifras (d >4 ) ; entonces el número mínimo de cifras de es: A) d + 6 B) d + 3 C) d D) d – 3 E) d – 6 resolución: Según los datos, se tiene que: A tiene 4n cifras B tiene 2n cifras C tiene n cifras D tiene d cifras Luego se establece que: Pero para obtener la expresión del problema multiplicamos lo obtenido: Entonces, la expresión tendrá como mínimo: (d–4) + 1 = (d – 3) cifras. RPTA : ‘‘D’’ PROBLEMA 26: Sean los números a ; b y r enteros. Al dividir (a+b) entre b , si se obtiene como cociente 3r y como resto r. Si a

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