DIVISIBILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS PDF

DIVISIBILIDAD Es aquella parte de la aritmética, que estudia las condiciones que debe reunir un número, para ser considerado divisible entre otro, así como también las consecuencias que de este hecho se derivan.
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  •  Se dice que un número entero «A» es divisible por otro entero positivo «B» (módulo), cuando al dividir «A» entre «B», la división resulta entera y exacta. A es divisible entre B A B # entero (+) (módulo) 0 q Ejemplo: 40 5 0 8 40 es divisible por 5 NOTACIÓN Para denotar que «A» es divisible por «B», escribiremos: A = 0 1 2 3 ……. N = 6 ……. -18 -12 -6 0 6 12 18 ……. Múltiplos (–) Múltiplos (+) es divisor de es múltiplo de A es múltiplo de B B es divisor de A      UNIDAD 13 Teoría de la Divisibilidad PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD 1. La adición o sustracción de números múltiplos de n, da por resultado un n . n + n + n = n Ejemplo: 30 + 18 = 48 6 + 6 = 6 n - n = n Ejemplo: 48 - 16 = 32 6 + 6 = 6 2. Si multiplicamos un n por una constante entera (K), el producto sigue siendo un n . n × k = n Ejemplo: 20 x 3 = 60 4 × k = 4 n × n = n Ejemplo: 15 x 10 = 150 5 × 5 = 5 3. Si un múltiplo de «n» se eleva a un número entero positivo (K), el resultado es n . ( n )k = n Ejemplo: (4)3 = 64 ( 2 )3 = 2 4. Si el producto de dos números es n y uno de ellos no admite divisores comunes con «n», entonces el otro es n . (Principio de Arquímides) Ejemplos:  4 x A = 3 A = 3  3 x B = 7 B = 7  6N =  10 (÷2) → 3N = 5 N = 5 5. Todo número es múltiplo de sus factores o de cualquier combinación de estos. Ejemplos: 30 = 2 x 3 x 5 30 =    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 10 15 30 1;2;3;5;(2x3);(2x5);(3x5);( 2x3x5)  APLICACIÓN Un número de 2 cifras donde la primera es el doble de la segunda cifra, es siempre divisible entre: a) 2 y 3 b) 3 y 5 c) 3 y 7 d) 5 y 7 e) 3 y 4 Sea el Nº: (2a)a (2a)a = 10 (2a) + a (2a)a = 21a (2a)a = 3 x 7 x a (Factores 3 y 7) (2a)a = 3 ; 7 ;  21 NÚMEROS NO DIVISIBLES Expresar A en función de 0 B a) D.I. por defecto: b) D.I. por exceso: A B A B r q re q+1 A = Bq + r A = B (q+1) – re A = B + r A = B - re Ejemplo: Expresar 31 en función de 7 . 31 7 31 7 3 4 4 5 31 = 7 x 4 + 3 31 = 7 x 5 – 4 31 = 7 + 3 31 = 7 – 4 1) Si un número «N»: N N =  mcm(a,b) Ejemplo: Si: N = 8 y N =  12 2) Si un número «N»: Si: N =  20 + 5 N = o 30 + 5 APLICACIÓN La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de 2 años más 1, múltiplo 7 más 6 y múltiplo de 10 menos 1. ¿Cuál es dicha edad? Sea la edad  0 0 0 N= (2;7;10) - 1 N = 0 mcm(2;7;10) - 1 N = 0 70 - 1 N = 69 N = 0 mcm(8;12) N = 0 24 N = 0 mcm(20;30) + 5 N = 0 60 + 5          PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al naufragar un barco en el que viajaban 180 personas, se observa que, de los sobrevivientes: 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuántas personas murieron en dicho accidente. S + M = 180……………….. (1) Fuman = 5 2S S = 5 Casados = 7 3S S = 7 S = 0 105 Ingenieros = 3 2S S = 3 S: 105; 210; 315; .......... Sólo: S = 105 Reemplazando en (1): M = 75 2. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 7 y terminan en 1? Números 1428.5 K → 143; 144; 145; ...; 1428 Pero: 7K = termina en 1 K = termina en 3 Sólo: K → 143; 153; 163; ...; 1423 Número térm.= 129 10 1423 -133 = #s 3. ¿Cuántos de los números de 1 a 720 son múltiplos de 4 pero no de 5? 180 4 n(4) 720 0 = = 144 5 n(5) 720 0 = = 36 20 n(20 ) 720 0 = = n(4 5) 144 0 0 = 1. En la siguiente secuencia: 1, 2, 3, 4, ... , 760 I Cuántos son divisibles entre 4. II Cuántos son divisibles entre 6 y 4. III Cuántos son divisibles entre 4 pero no entre 6. Dar como respuesta la suma de los resultados que se obtienen. A) 320 B) 350 C) 360 D) 380 E) 400 2. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles entre 19 A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50 3. ¿Cuántos numerales de 4 cifras son multiplos de 23 y terminan en 8? A) 48 B) 72 C) 28 D) 36 E) 39 4. Si: N = entonces N siempre será divisible por: A) 7 B) 11 y 7 C) 19 D) 31 E) 59 5. Calcular (a + b + c + d) si: y A) 16 B) 18 C) 20 D) 21 E) 24 6. halle la suma de los posibles valores de «n» si: A) 16 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 PROBLEMAS PROPUESTOS 7. y m+c+d+u = 18 calcular A) 21 B) 36 C) 26 D) 56 E) 66 8. En la secuencia: 21x89; 21x90; 21x91; ...; 21x2008 ¿Cuántos términos no son ? A) 1746 B) 1763 C) 1740 D) 1780 E) 1450 9. A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad de niños era la septima parte de las mujeres que asistieron y los hombres que no bailaban era la octava parte de las mujeres que asistieron ¿Cuántas mujeres no bailaban? A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) 32 10. Al multiplicar por 120 a un número de dos cifras iguales se obtiene un -1. halle el valor de la cifra empleada A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 11. ¿Cuántos números de 5 cifras que terminan en 28 son (m19 + 12)? A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49 12.¿Cuántos de los números de 1 al 720 son múltiplos de 4 pero no de 3 ni de 5? A) 48 B) 84 C) 96 D) 180 E) 108 13. Si: ; calcular (x + y + z + w) para el mayor número que cumple dicha condición. A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 14. En la siguiente serie: 8; 15; 22; 29; ...;351. Determinar la suma de todos los (m8 + 6). A) 972 B) 980 C) 988 D) 996 E) 1004 15.hale la suma de cifras del menor número, mayor que 1200, tal que al restarle su C.A. se obtenga un «m23». A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 16. ¿existen números de la forma que sean divisibles por 19?, ¿Cuántos cumplen dicha condición? A) 11 B) 9 C) 6 D) 7 E) 4 17. ¿que día de la semana fué 30 de mayo de 1960, sabiendo que en el año 1988, 30 de mayo fué sabado? A) lunes B) Martes C) jueves D) Viernes E) Sabado 18. Entre los 1512 primeros números naturales. ¿Cuántos son múltiplos de 3 pero no de 9. A) 108 B) 336 C) 504 D) 520 E) 1072 19. Al expresar el menor número de 3 cifras en base 3, las cifras de menor orden fueron 2 y 1 respectivamente. hallar el número. A) 95 B) 105 C) 205 D) 305 E) 405 20.- Halle el menor númerode 4 cifras tal que al expresarlo en bases 2, 3 y 7 terminan en 101, 12 y 5; dar como respuesta la suma de cifras. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 21. Sabiendo que: N= Calcule el residuo al dividir N entre 8. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 22. En una reunión se cuenta entre 400 y 450 personas de las cuales los 3/7 son varones; los 2/5 usan lente y los 2/3 son profesionales. ¿Cuántas mujeres habia en la reunión? A) 180 B) 200 C) 240 D) 105 E) 315 23. Halle el mayor número de 3 cifras tal que al dividirlo entre 5, 6 y 8 se obtiene residuos máximos. A) 939 B) 949 C) 959 D) 969 E) 979 24 ¿Cuántos números de la sucesión: 7; 15; 23, ..., 399 son m11. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 25. Si: = m13 + 5. calcule la suma de los posibles valores de A) 131 B) 413 C) 513 D) 613 E) 713 26.Calcule el residuo al dividir: N = 30 + 31 + 32 + ... + 3401 entre 5 A) 2 B) 9 C) 1 D) 3 E) 0 27. Si es divisible entre 37 y es divisible entre 14 ¿cuál es el valor de «m + n + p»? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 28. Si: = 66(a + c - b); calcular el valor de: (a2 + b2 + c2) A) 74 B) 136 C) 125 D) 89 E) 182 29. Un número de l a f o r m a : es siempre divisible entre: A) 7 B) 13 C) 19 D) 17 E) 23 30. ¿Cuántos números de la forma son múltiplos de 17 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 CLAVES 01. D 02. B 03. C 04. E 05. C 06. D 07. C 08. A 09. C 10. D 11. C 12. D 13. C 14. A 15. D 16. B 17. A 18. B 19. B 20. B 21. C 22. C 23. C 24. E 25. B 26. E 27. B 28. D 29. E 30. D

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