CONTEO DE NÚMEROS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Cálculo de un término cualquiera Toda progresión aritmética se podría representar por: Donde: T1 : primer término T2 : segundo término T3 : tercer término Tk : termino de lugar “k” Tn : término de lugar “n” (o último termino) r : razón aritmética Para calcular el término de lugar “n”, se aplicará : Tn =T1 +(n – 1)r Donde : T1 = primer término n = posición o lugar del térnino r = valor de la razón
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  •  Ejemplo 1: calcular el termino de lugar 28 en la siguiente P.A. : 42; 45; 48;.…. Resolución : Sabemos que Tn =T1 +(n – 1) r En el ejemplo: Ejemplo 2: calcular el termino de lugar 31, en la progresión aritmética. 30 ; 25 ; 20 ;…… Resolución : Reconociendo los elementos: T1 = 30 ; r = 25 – 30= –5 T31 = T1 +(30 – 1)r T31 = 30 + 29(– 5)=–115 Ejemplo 3: calcular el término de lugar 20 , en la siguiente progresión aritmética. b; b + 3; 18 - b; ….. Resolución : Como es un progresión aritmética , igualamos la razón y de esta manera hallamos el valor de “b” , luego aplicaremos la fórmula para calcular el término de lugar 20. (b + 3) – b = (18 – b)– (b + 3) 3 = 15 – 2b 2b =12b = 6 Reemplazando: T20 = T1 + (20 – 1) r T20 = 6 + 19(3)T20 = 63 Fórmula para obtener el número de términos (n) Para calcular el número de términos, se aplica: Número de términos = ó Ejemplo 1: En la siguiente P.A., calcular el número de términos. 33; 38; 43; … ; 308 Resolución : Sabemos que: En el ejemplo: Ejemplo 2: En la siguiente progresión aritmética, hallar el número de términos : 284;280;276;...; 84 Resolución : Reconociendo elementos: Ejemplo 3: En la siguiente progresión aritmética, determinar el número de términos: Resolución : Como nos informan que es una progresión aritmética, la diferencia del segundo y el primer término nos dará la razón, en este caso esta diferencia es 3, solo observe las cifras de las unidades. Caso particular: Si los números son consecutivos (r = 1). Se cumple: Ejemplos: Cantidad de cifras empleadas en una progresión aritmética Para calcular el número de cifras que se utilizan en una progresión aritmética, se siguen los siguientes pasos: Paso 1: Se debe conocer el primer y el último término de la progresión, para formar grupos que tengan la misma cantidad de cifras. Paso 2 : Se calcula el número de términos, que hay en cada grupo formado. Paso 3: Se calcula el número de cifras, que hay en cada grupo, así por ejemplo: 20 números de 2 cifras, emplean : 20× 2 = 40 cifras 80 números de 3 cifras, emplean : 80 × 3 = 240 cifras. Paso 4: Se suma los resultados de cada grupo y obtenemos el total de cifras. Ejemplo: ¿Cuántas cifras se emplean en la siguiente P. A.? Resolución : Paso 1 : 40; 42; 44; 46;…; 98números de 2 cifras 100; 102; 104; ...;220 número de 3 cifras Paso 2 : # de términos de 2 cifras = = 30 términos # de 3 cifras = = 61 términos Paso 2: 30 términos de dos cifras30 × 2 = 60 cifras 61 términos de tres cifras61 × 3 = 183 cifras Paso 4 : Total de cifras : 60 + 183 = 243 cifras Un caso particular de progresión aritmética, es la sucesión de números enteros positivos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ….; N Para calcular cuantas cifras se utilizan en este tipo particular de progresión, empleamos la siguiente fórmula: Cantidad de cifras donde “k” es el número de cifras de “N”. Ejemplo: ¿Cuántas cifras se emplean en la siguiente enumeración? 1; 2; 3; 4; …; 2006 Resolución : En esta caso : N = 2006 y K = 4, luego: Cantidad de cifras = (2006 + 1)4 – 1111=6917 cifras Ejemplo 2: ¿Cuántas cifras se emplean al escribir los números naturales desde el uno hasta 287? Resolución : N = 287 ;K = 3... (números de cifras de “N”) Cantidad de cifras = (287 + 1)3 –111 = 753 Observación : Tipo de imprenta < > cifra ó dígito PROBLEMA 1 : En las siguientes progresiones aritméticas calcular el número de términos: I) 17; 22; 27; 32;…;642 II) 102; 99; 96;...;12 A) 121 y 31 B) 132 y 29 C) 48 y 42 D) 301 y 37 E) 126 y 31 Resolución: Debemos recordar: Rpta : ‘‘E’’ Problema 2 : Calcular el décimo quinto término de la sucesión: 20; 17; 14; 11;………….. A) –25 B) –22 C) 22 D) –19 E) 19 Resolución : Recordemos que para calcular cualquier término de la progresión; aplicaremos: En el problema se tendrá que: T1 = 20; n = 15; r = 17 – 20 = – 3 y T15 = ? Entonces: T15 = 20 + (13 – 1)(–3) = 20 – 42 = –22 Rpta : ‘‘b’’ Problema 3 : Determine el trigésimo quinto término de la P.A. 100; 97; 94; 91; … A) 1 B) –7 C) 0 D) –8 E) –2 Resolución : T1 = 100; n = 35; r = 97 – 100 = –3 y T35 =? Entonces aplicamos la fórmula adecuada; Así: T 35 = 100 + (35 – 1) (–3) =100 – 102 = –2 Rpta : ‘‘e’’ Problema 4 : ¿Cuál es el último término de la siguiente progresión aritmética:11; 15; 19; 23; ...; m, si tiene 20 términos? A) 49 B) 59 C) 69 D) 79 E)87 Resolución : Como tiene 20 términos, entonces el último será el término 20, luego identificando los términos se obtendrá: T 1 = 11, r = 15 – 11 =4, n =20 y T 20 =? Entonces : T20 = 11 + (20 –1) 4 = 87 Rpta : ‘‘e’’ Problema 5 : El cuarto término de una sucesión es 29 y el décimo quinto término es 117. Calcule el séptimo término. A) 15 B) 18 C) 53 D) 4 E) 32 Resolución : Sabemos que el cuarto y décimo quinto término, serán: En una misma progresión aritmética, se cumple: Tn – Tm = (n – m)r Luego como deseamos el término 7, planteamos: T7 – T4 = (7 – 4)8 T7 – 29 = 3 × 4 ÞT7 = 53 Rpta : ‘‘C’’ Problema 6 : Determinar la cantidad de tipos de imprenta utilizados en un libro de 654 páginas. A) 1854 B) 1820 C) 1910 D) 1920 E) 1754 Resolución: Recordemos que para calcular la cantidad de cifras, en la secuencia de números naturales, aplicaremos: Donde K es el número de cifras de “N” Luego la numeración de las páginas del libro será:1; 2; 3; 4;...; 654 Como son números consecutivos y empieza desde la unidad entonces aplicamos la fórmula, así : Ccifras de = (654 +1) – 11 = 1854 1®654 Rpta : ‘‘a’’ Problema 7 : ¿Cuantas cifras se emplearon para numerar un libro de 256 hojas? A) 1120 B) 1150 C) 1228 D) 1258 E) 1320 Resolución: Si el libro tiene 256 hojas, entonces tiene 256×2=512 páginas , luego al numerarlos tenemos: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 512 Utilizando la fórmula para la cantidad de cifras, Así:Ccifras de = (512 + 1) 3 – 111 =1228 1 –512 Rpta : ‘‘c’’ Problema 8 : Determinar el valor de (a + b), si para escribir desde el 1 hasta , se emplearon 159 cifras : A) 12 B) 14 C) 11 D) 13 E) 15 Resolución : Se tiene : 1; 2; 3; 4;………; Además : Se pide : a + b = 8 + 4 = 12 Rpta : ‘‘A’’ Problema 9 : Si al numerar un libro se emplearon 735 cifras ¿Cuántas páginas de 3 cifras tiene el libro? A) 160 B) 182 C) 164 D) 170 E) 178 Resolución : Como no sabemos cuantas cifras tiene la última página vamos analizar por partes : Para que la cantidad de cifras sea 735, el número de la última página debe ser más de 99 y menos de 999 o sea un número de tres cifras. Después del 99 las cifras que faltan sería: 735 – (9 + 180) = 546 cifras Por lo cual las páginas de tres cifras , serían: 546÷ 3 = 182 Rpta : ‘‘B’’ Problema 10 : ¿Cuántas cifras se emplearon para escribir la siguiente sucesión compuesta de 124 términos? 841; 852; 863;… A) 564 B) 496 C) 620 D) 321 E) 320 Resolución : En los exponentes tenemos: 1; 2; 3;...; 124 Nº cifras (124 + 1) 3 –111 =264 De la base tenemos: Calcular el término que se indica en cada uno de los siguientes casos: A) 30; 37; 44; 51;….; T41 B) 120; 123; 126; 129;…; T14 C) 96; 93; 90; 87;…, T20 D) 47; 51; 55; 59;…; T50 Calcular el número de términos en cada una de las siguientes progresiones: A) 42; 47; 52; 57;…; 497 B) 57; 61; 65; 69,...;441 C) 228; 224; 220;….;32 D) –17; –22; –27;….; – 427 ¿Cuántas cifras se emplean al escribir cada una de las siguientes progresiones aritméticas? A) 24; 27; 30;….; 300 B) 67; 72; 77;…; 952 C) 165; 175; 185;...; 1 565 En cada una de las siguientes progresiones se indica el número de términos que tiene, calcular cuántas cifras se utilizaron en cada caso. A) 17; 22; 27;……..(70 términos)

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