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CÁLCULO DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR POR EL ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES SUCESIVAS STURM EJERCICIOS RESUELTOS

POR DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES (Sólo para el cálculo del MCD) En toda división entera inexacta el MCD del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y el residuo. Ejemplo 1 : Calcule el MCD de 69 y 49 Entonces MCD (69; 48)=3 Donde: 1; 2; 3 y 2 son los cocientes sucesivos 21; 6; 3 son los residuos sucesivos OBSERVACION : Las divisiones pueden ser realizados ya sea por defecto o por exceso. Ejemplo 2 : Calcule el MCD de 156 y 120 Euclides ordenó todas estas divisiones del siguiente modo: En general: sean los números A y B donde A > B MCD (A; B)=r3 No olvidar que las divisiones se pueden realizar por defecto o por exceso. Ejemplo 3 : Calculemos el MCD de 144 y 56. Por defecto: Por exceso: Ejemplo 4 : Calcule el MCD de 588 y 114. Notamos que se divide hasta que el último residuo es 0, siendo el MCD, de 588 y 114, igual a 6. Þ MCD (588 ;114) = 6 RELACIONES DEL ALGORITMO DE EUCLIDES CON DESARROLLO EN FRACCIONES CONTINUAS El algoritmo de Euclides está intimamente ligado al proceso de formar fracciones continuas. Para convertir una fracción dada en una fracción continua se sigue el mismo procedimiento que se usa para calcular el MCD ( por el algoritmo de Euclides) Ejemplo 1 : Desarrollar en fracción continuas. «Las fracciones obtenidas deteniendo la operación en el primero, segundo, tercero ,.....cocientes de una fracción continua se llama primera , segunda, tercera,.....reducidas. Regla de Sturm para hallar MCD de varios números Dado el conjunto de números , se divide cada uno de los números dados entre el menor de ellos , se considera entonces éste divisor y los restos de las divisiones que hubiesen resultado inexactas se dividen entre el menor de ellos y así sucesivamente, prescindiendo siempre en el curso de las operaciones de los restos que sean nulos (ceros), el último divisor empleado será el MCD del conjunto de los números. Ejemplo 1 : Calcular el MCD de 2520 ; 3060 ; 2790 y 4545. Resolución : Luego MCD(2520; 3060; 2790; 4545) = 45 Ejemplo 2 : Calcular el MCD de 840; 345; 650;725;2 80 utilizando la regla de Sturm. Resolución : PROPIEDAD : I) Dado un conjunto de números , si se divide cada uno de ellos entre su MCD los cocientes obtenidos son números P.E.S.I. Sea: EJEMPLO : MCD (21;14 ; 28) = 7 Para dos números A y B Sea el MCD (A;B) = d Despejando : A = d× p ; B =d×p II) Dados los números A, B, C: Ejemplo : Calcular el MCD de: 56–1 ; 5 8 –1 y 510–1 Resolución : Aplicando la propiedad I) se obtendrá:

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