NÚMEROS RACIONALES PROBLEMAS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA PDF
Definición (Números Racionales) El conjunto de los números racionales, que denotaremos por Q, está formado por todos los números de la forma a b , donde a y b son números enteros, con b 0 . Es decir, a / a,b b 0 b Q Z Ejemplo: 1 ; - 3 ; -7;... 2 5 Definición (Números Irracionales) El conjunto de los números Irracionales, que denotaremos por II, está formado por todos los números que no tienen la forma a b , donde a y b son números enteros, con b 0 . Es decir, II x/x a con a,b b 0 b Z Ejemplo: 2 ; - 5 ; Definición (Fracción) Una fracción se define como un número de la forma a b , donde a y b son números enteros positivos. Es decir, el conjunto de las fracciones se define como Fr a / a,b b Z+ Notación: CLASES DE FRACCIONES: Fracción Propia: Es aquella fracción donde el numerador es menor que el denominador (a < b) esta clase de fracciones son menores que la unidad, es decir, Ejemplo: 1 ; 4 ; 3 ;... 2 120 7 2.- Fracción Impropia: Es aquella fracción que no es propia, es decir que el numerador es mayor que el denominador (a > b) esta clase de fracciones son mayores que la unidad, es decir, Ejemplo: 4; 1000 ; 7 ;... 3 7 3 3.- Fracción Aparente: Es aquella fracción donde el denominador es igual a la unidad (b = 1), esto quiere decir que las fracciones aparentes son todos los números enteros positivos o aquellas fracciones que se reduzcan a un número entero positivo. Ejemplo: 1; 2; 3; 16; 8 4.- Fracción Irreducible: esto significa que sus términos no deben tener divisores comunes diferentes de la unidad, es decir, sus términos deben ser PESI. Ejemplo: 3 ; 16 ; 1345 ;... 4 17 1344 Observación: La fracción 44 36 11 9 5.- Fracción Decimal: Esta clase de fracciones tienen en su denominador potencias de 10.Propiedades: 1.- Si a 1. Si el producto de los términos de una fracción equivalente a 5/9 tiene 25 divisores positivos compuestos y 2 divisores primos positivos, halle la diferencia positiva de los términos de dicha fracción. A) 160 B) 180 C) 100 D) 60 E) 240 Solución: 9k 5k fe ; P = 32.5.k2 ; Div.(P) = 28 I) P = 33.56 k Z II) P = 36.53 k = 32.5 Dif. = 4k = 180 Clave: B 2. Si la suma de los términos de una fracción equivalente a 13/19 es un múltiplo de 18 y la diferencia positiva de los mismos está comprendida entre 110 y 210, halle el producto de las cifras del numerador de dicha fracción. A) 0 B) 9 C) 15 D) 27 E) 7 Solución: 19k 13k fe ; S = 32k = o 18 k = o 9 110 < 6k < 210 N = 13k 18,3 < k < 35 N = 13(27) = 351 k = 27 Prod. cifras = 15 Clave: C 3. ¿Cuántas fracciones comprendidas entre 18/23 y 77/83 son tales que sus términos son pares consecutivos? A) 8 B) 18 C) 12 D) 9 E) 10 Solución: n 2 n f ; 83 77 n 2 n 23 18 7,2 < n < 25,6 n = o 2 n = 8; 10; 12; …; 24 9 valores habrá 9 fracciones. Clave: D 4. Si N es un número positivo de dos cifras, ¿cuántas fracciones de la forma (N3 + 2N2 + 3N + 55) / (N + 2) son irreducibles? A) 86 B) 76 C) 87 D) 66 E) 77 Solución: o 2 3 2 N 2 7 N 2 49 N 3 N 2 N 2N 3N 55 f N + 2 7(2) ; 7(3) ; …; 7(14) ; 10 N 99 13 valores 90 valores fracc. Irreduc. = 90 – 13 = 77 Clave: E 5. ¿Cuántos pares de fracciones irreducibles existen tales que su suma sea el menor número primo de dos cifras diferentes y la suma de sus numeradores el mayor número posible de dos cifras? A) 39 B) 48 C) 46 D) 47 E) 45 Solución: Sean las fracciones irreducibles: b a y d c 13 b 7 ; a c 91 (a y c 7) b a c 13 b d d c b a o a 1 2 3 … 7 … 45 a 7; 14; 21; …; 42 c 90 89 88 … 84 … 46 6 valores 45 valores cantidad de pares = 45 – 6 = 39 Clave: A 6. Tres reglas de un metro de longitud cada una, están uniformemente graduadas cada 8/15; 20/33 y 22/39 mm respectivamente. Si se les hace coincidir por primera vez en la marca del cero, ¿a qué distancia de la marca del cero coincidirán sus marcas por séptima vez? A) 87,5 cm B) 87 cm C) 96 cm D) 102 cm E) 88 cm Solución: MCM mm 3 440 MCD(15; 33;39) MCM(8; 20;22) 39 22 ; 33 20 ; 15 8 Coincidirán por 7ma vez en = (6) 880mm 88cm 3 440 Clave: E 7. ¿Cuántas fracciones propias e irreducibles con denominador 5096 existen? A) 1008 B) 2016 C) 1512 D) 672 E) 2352 Solución: 5096 n f < 1 n < 5096 ; 5096 = 23.72.13 (5096) = 22(2 – 1). 71(7 – 1). 130(13 – 1) = 2016 Clave: B 8. ¿Cuántas fracciones irreducibles con numerador 45 existen, tales que el denominador esté comprendido entre 264 y 1446? A) 624 B) 648 C) 630 D) 391 E) 642 Solución: d 45 f ; 264 < d < 1446 ; d o 3 ; d o 5 (45) = 31(3 – 1) . 50(5 – 1) = 24 d = 266; 268; 269; 45(6);…; 45(7);…; 45(8);…; 45(31);…; 45(32); 1441; 1442; 1444 24 s 24 s … 24 s Cantidad = 26(24) + 6 = 630 habrá 630 fracciones. Clave: C 9. Ana, Bertha y Claudia pueden hacer una obra en 10; 8 y 5 horas respectivamente. Si ellas realizaron 7/8 de la obra anterior del siguiente modo: primero Ana trabajó sola durante 1 ½ horas, luego se le unió Bertha por 2 ½ horas y finalmente Ana fue reemplazada por Claudia hasta concluir el trabajo, ¿en cuántas horas realizaron dicho trabajo? A) 4 B) 3 ½ C) 4 ½ D) 2 ½ E) 2 Solución: A: A y B: B y C: 2 1 x 8 7 5 1 8 1 x 8 Ttotal = 2 1 4 2 1 2 5 2 3 Clave: C 10. Dos grifos llenan una piscina en 4 y 10 horas respectivamente, mientras que un desagüe puede vaciarla en 5 horas. Si a las 6h 20min se abren los dos grifos y recién a las 8h 50min se abre el desagüe, ¿a qué hora se llenará la piscina? A) 9h B) 9h 20min C) 9h 40min D) 10h E) 10h 20min Solución: 1 5 1 10 1 4 1 x 10 1 4 1 2 5 x = 6 5 h = 50 min. hora = 8h 50 min. + 50 min. = 9h 40 min. Clave: C 11. Antes de empezar una caminata un padre le da a su hijo cierta ventaja, diciéndole que avance 91 pasos. Si se sabe que cuando el padre da 7 pasos, el hijo da 4; además 2 pasos del padre equivalen a 3 del hijo, ¿cuántos pasos dará el padre para alcanzar a su hijo? A) 91 B) 98 C) 105 D) 112 E) 77 Solución: * 2p = 3 h 7 xp = x h 2 21 x h 4 x h 91h x 14 2 21 pasos del padre = 7x = 98 Clave: B 12. Un recipiente R contiene 3a litros de vino y 2a litros de agua; otro recipiente Q contiene 5a litros de vino y 4a litros de agua. Si se extrae 2 litros de R y 3 litros de Q para mezclarlos, ¿qué fracción del volumen de vino es el volumen de agua en la esta última mezcla? A) 32/45 B) 33/43 C) 15/43 D) 1/3 E) 32/43 Solución: En cada litro hay: Al extraer 5l de mezcla: R: vino = 3/5 vino = Q = vino = 5/9 agua = 15 32 15 43 5 - 43 32 43/15 32/15 f Clave: E EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 8 1. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 9/13 existen, tales que el numerador y denominador sean de tres y cuatro cifras respectivamente? A) 35 B) 33 C) 34 D) 36 E) 32 Solución: 13k 9k fe ; 99 < 9k 999 1000 13k 9999 11 < k 111 76,9 k 769,1 76,9 k 111 k = 77; 78; …; 111 35 valores habrá 35 fracciones Clave: A 2. ¿Cuántas fracciones irreducibles comprendidas entre 3/5 y 4/5 son tales que la diferencia de sus términos sea 8? A) 19 B) 9 C) 18 D) 11 E) 10 Solución: n 8 n f ; 5 4 n 8 n 5 3 12 < n < 32 n o 2 ; n = 13; 15; 17; …; 31 10 valores habrá 10 fracciones Clave: E 3. Halle la diferencia positiva de los términos de una fracción equivalente a 13/15, tal que la suma de sus términos sea un múltiplo de 91 comprendido entre 1500 y 2100. A) 182 B) 156 C) 104 D) 78 E) 130 Solución: 15k 13k fe ; S = 28k = o 91 k = o 13 1500 < 28k < 2100 53,5 < k < 75 k = 65 Dif. = 2k = 130 Clave: E 4. Se sabe que abc y 231 son primos entre sí ; bed y 124 también; además ( 231 / abc ) + ( bed / 124 ) = e – b , halle e – d + b – a + c. A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 3 Solución: e 2 679 114 e d 124 231 bed e b abc 124 124 bed abc 231 e = 6 ; d = 5 e – d + b – a + c = 6 Clave: A 5. Una piscina cuenta con dos grifos. El grifo M llena la piscina en 3 horas, mientras que el grifo N la llena en 4 horas más que cuando se abren los dos grifos simultáneamente. ¿En cuántas horas llena la piscina el grifo N? A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 3 Solución: M: N: M y N: 3 1 + x 1 = x - 4 1 x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6) (x + 2) = 0 x = 6 N la llena en 6 horas Clave: C 6. Vendí las 70 computadoras que compré al mismo precio cada una. Si en 23 de ellas gané 4/5 del costo y en el resto perdí 3/10 del costo, ¿qué fracción del costo total es mi ganancia global? A) 43/700 B) 21/350 C) 2/35 D) 9/140 E) 7/100 Solución: gané: perdí: Gglobal = PC 10 43 47PC 10 3 23PC 5 4 700 43 70PC 43/10PC costo total G f global Clave: A 7. Un grupo de personas van de viaje en 4 ómnibus: M, N, P y Q. El número de personas que lleva M es 5/11 de los que lleva N, y el que lleva P es 7/13 de los que lleva Q, además entre M y N llevan tantas personas como los otros dos. Si ningún ómnibus tiene más de 57 personas, ¿cuántas personas más hay en Q que en P? A) 6 B) 24 C) 18 D) 24 E) 30 Solución: N 11 5 M ; Q 13 7 P M + N = P + Q Q Q 13 7 N N 11 5 M = 11 5 (55) = 25 Q 52 55 N P = 13 7 (52)=28 Q = 52 Q – P = 24 N = 55 Clave: B 8. Una persona gastó su dinero de la siguiente manera: primero gastó 3/5 de lo que tenía, más 4 soles; luego gastó 1/4 de lo que le quedaba, menos 6 soles; y finalmente gastó 5/7 del resto, más 8 soles. Si aún le queda 100 soles, hallar la suma de las cifras del número de soles que gastó en total. A) 6 B) 7 C) 9 D) 9 E) 5 Solución: x 4 5 3 x 4 a 5 2 x = 1250 a - 6 4 1 a 6 b 4 3 a = 496 b 8 7 5 b 8 100 7 2 b = 378 Gastó total = 1250 – 100 = 1150 cifras = 7 Clave: B 9. De una botella llena con agua, bebí 2/7 de su contenido y luego 5/8 del resto. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que aún sobre en ella 3/14 de su capacidad? A) 3/7 B) 4/5 C) 1/4 D) 1/5 E) 1/3 Solución: Capacidad = x Queda = x 56 15 x 7 5 8 3 (1 – f) x 14 3 x 56 15 f = 5 1 Clave: D 10. De un vaso con agua que está lleno 2/3 de lo que no está lleno, se extrajo 3/5 de lo que no se extrajo. ¿Qué fracción del volumen del vaso quedó con agua? A) 1/3 B) 1/4 C) 4/5 D) 1/2 E) 3/4 Solución:
