NÚMEROS AVALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE FRACCIÓN GENERATRIZ EN ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA PDF
FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO AVAL 1. AVAL EXACTO (n) K cifras (n) (n) (n) K "k ceros" 0,abc...x ab...x ab...x n 100...0 Ejemplo: 0,42 42 21 100 50 2. AVAL PERIÓDICO PURO (n) (n) (n) (n) K K cifras "k cifras" 0,abc...x abc...x abc...x n 1 n 1 n 1 ... n 1 OBS: El periodo de un número aval esta formado por la menor cantidad de cifras que se repiten o forman un ciclo en el aval. Ejemplo: 0,3 3 1 9 3 Ejemplo: 1,73 173 1 172 99 99 3. AVAL PERIÓDICO MIXTO Ejemplo: 0,2131313. . . = 0,213 = n (n 1) a a ...a b b ...b a a ...a 0,a a ...a b b ...b K m 1 2 K 1 2 m (n) 1 2 K (n) 1 2 K 1 2 m (n) 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) " " " " ... ... ... ( 1)( 1) ...( 1) 00 ... 0 K m n K n m cifras k ceros a a a b b b a a a n n n 990 211 990 213 2 RECONOCER EL DECIMAL A PARTIR DE SU FRACCIÓN GENERATRIZ Sea fracción irreducible 1. Si b = 2p x 5q con p y q no nulos a la vez. El número decimal correspondiente es exacto. # cifras decimales de f = Mayor exponente de 2 y 5 = máx.{p ; q} Ejemplo: # cifras decimales = máx. { 4; 2} = 4. Por lo tanto tiene cuatro cifras en la parte decimal. Regla de los 9: Nivel: Representantes 9 = 32 1 3 y 9 99 = 32 x 11 2 11 999 = 33 x 37 3 27 y 37 9999 = 32 x 11 x 101 4 101 99999 = 32 x 41 x 271 5 41 y 271 999999 = 33 x 7 x 11 x 13 x 37 6 7 y 13 9999999 = 32 x 239 x 4649 7 239 y 4649 99999999 = 32 x 11 x 73 x 101 x 137 8 73 y 137 Obs: El nivel se considera de arriba hacia abajo. Ejemplo: El nivel del 11 es 2 (Dos), pues se encuentra por primera vez como factor de 99 (dos nueves); así como el nivel del 37 es 3 y no 6, pues el 37 aparece por primera vez como factor de 999 (3nueves), etc. 2 Si b se descompone en factores primos diferentes a 2 y/o 5 Supongamos que donde son PESI con 2 y 5, entonces el número decimal correspondiente es periódico puro; por lo tanto # Cifras del periodo de Ejemplo 01: 1 0,142857 7 # Cifras del periodo = nivel (7) = 6. Luego tiene 6 cifras en su periodo. Ejemplo 02: Por lo tanto tiene 30 cifras en su periodo. f a b 4 2 21 21 0,0525 400 2 5 f f f f 1 0, 003484320557491289198606271777 7 41 #Cifras del periodo de f MCM nivel 41 ;nivel 7 MCM 5 ; 6 30. f 3 Si b tiene factores primos 2 y/o 5, y otros factores PESI con 2 y/o 5. Supongamos que b = 2p x 5q con p y q no nulos a la vez donde son PESI con 2 y 5, entonces el número decimal correspondiente es periódico mixto; por lo tanto : # cifras de la parte no periódica de = Mayor exponente de 2 y 5 = máx. {p ; q} # Cifras de la parte periódica de Ejemplo: # Cifras parte no periódica de = máx. { 3; 2} = 3. #Cifras de parte periódica de =MCM{nivel (37); nivel (13)}=MCM{3; 6} = 6 TEOREMA DE MIDY(1836):Sea un número primo y talque entonces . Obs: Ejemplos: Obs: (Teorema de Midy en base 8) Observaciones: 1) A todo número que cumple el teorema llamemos número de Midy. 2) Generalización del teorema de Midy: Sean y , enteros positivos PESI. Supongamos que tiene una cantidad par de cifras en su periodo (puro) Entonces: Si es primo, o es potencia de un primo, o Entonces es un número de Midy. f f 3 2 f = 7 = 0,000072765 2 ×5 ×37×13 f f p 2, 5 01 1 a Hallar la última cifra del periodo correspondiente al número decimal generado por la fracción 11 (13) 7 . A) 8 B) 7 C) 5 D) 9 E) 6 Solución 7. Halle la cantidad de cifras periódicas y no periódicas del número decimal generado por la fracción 13! 252 y de cómo respuesta la suma de ambas cantidades. A) 16 B) 14 C) 10 D) 8 E) 21 Solución 10. Halle la mayor de las cifras del periodo del número decimal generado por la fracción 37037037.....037037 15 . A) 7 B) 4 C) 8 D) 6 E) 5 Solución 11. Si se cumple 0,b0(a 1) ab 19 y ... 2 3 4 b a 1 b a b a 1 b a f determine la cantidad de cifras no periódicas del número decimal originado por la fracción f. A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 6 Solución 1. Halle la cantidad de cifras no periódicas del número decimal generado por la fracción 35! (2a 1)0 . A) 31 B) 21 C) 18 D) 16 E) 13 2. Si la fracción irreducible ab 16 genera el número decimal 0,(a 3)(b 2)a , halle la última cifra del número decimal generado por la fracción ba a b . A) 7 B) 5 C) 4 D) 6 E) 3 Solución 3. Si S = . . . 3 2 3 1 3 2 3 1 3 5 7 determine la cantidad de cifras periódicas del número decimal generado por la fracción S 1 . A) 1 B) 6 C) 2 D) 5 E) 3 Solución S 5. Halle la última cifra del periodo correspondiente al número decimal generado por la fracción 24 107 103 . A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 7 Solución 6. Si la fracción irreducible 27 N genera el número decimal 0,a(a 1) (6 a) 3 , determine el valor de N. A) 5 B) 4 C) 11 D) 8 E) 7 Solución 7. En el desarrollo decimal infinito del número decimal generado por la fracción 27 4 , hallar la suma de la cifra que ocupa el lugar x(x y)(x y) y la cifra que ocupa el lugar (2m)m1. A) 5 B) 9 C) 12 D) 16 E) 8 Solución 8. Halle la menor de las cifras significativas del periodo del número decimal generado por la fracción 243902439024390............2439 69 . A) 1 B) 4 C) 2 D) 3 E) 5 Solución menor cifra 2 99.........9 2829 41 41 x 2439024390.............2439 69 Clave: C 9. Si x+y+z+n = 26, n
