RAZONES Y PROPORCIONES EXPLICACIONES BÁSICAS PDF

MAGNITUD :
Cuando distintos observadores cuentan los cambios que experimentan algunos objetos o sus propiedades, es frecuente observar que algunas de ellas son interpretadas (propiedades) o relatados (cambios) de la misma forma por todos ellos son resultados objetivos. 
Ejemplo:
El tiempo de un experimento si una propiedad, el tiempo, se puede medir, es una magitud. 
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  • Ejemplo: El color de los ojos. Si una propiedad, el color, no se puede medir, no es una magnitud. Si la observación de un fenómeno da lugar a una información cuantitativa, dicha información será completa. Así pues, llamaremos magnitudes a las propiedades físicas que se puedan medir. Es por lo tanto necesario saber relacionar los resultados de estas mediciones, así como operar con ellos. las matemáticas son parte del lenguaje que necesitamos: para comprender los fenómenos físicos. Medir, es comparar una magnitud con otra tomada de manera arbitraria como referencia, denominada unidad patrón y expresar cuantas veces la contiene. Al resultado de medir lo llamamos medida. Ejemplo: • La velocidad de un móvil es 30 m/s • La edad de Lorena es 18 años. RAZÓN : Es la comparación de las medidas de dos magnitudes expresadas en las mismas unidades. EJEMPLO INDUCTIVO 1 : Las edades de Carlos y Lorena son 30 años y 18 años respectivamente. Análisis : Es evidente que la edad de Carlos es mayor que la edad de Lorena y para expresarlo matemáticamente, comparamos las edades mediante la sustracción. En este caso afirmamos que: “La edad de Carlos excede a la edad de Lorena en 12 años” Esta razón recibe el nombre de Aritmética. Pero también dichas edades pueden ser comparadas mediante la división: Aqui se afirma que: “Las edades están en razón o relación de 5 a 3” Esta razón recibe el nombre de Geométrica. En ambos casos las edades 30 años y 18 años se denominan antecedente y consecuente respectivamente. ejercicio : Calcule el valor de la razón Aritmética y Geométrica de los volúmenes de los recipientes A y B que son 7,5 L y 5 L respectivamente. Interprete las razones. Resolución : Para la razón aritmética : Interpretación : “El volumen de A excede al volumen de B en 2,5 L”. Para la razón geométrica : Interpretación: “Los volúmenes de A y B están en la relación de 3 a 2”. EJEMPLO INDUCTIVO 2 : “Al comparar las edades de Lenin y Greys que son 45 y 15 años respectivamente” se tendrá: Comparando por sustracción: 45 años – 15 años = 30 años “la edad de Lenin excede a la de Greys en 30 años”. g Comparando por división: “La edad de Lenin es el triple de la edad de Greys”. g Toda razón tiene 2 términos: En general para las medidas a y b de dos magnitudes, se tiene que: observaciones : i) La razón o relación geométrica es de mayor aplicación en la vida cotidiana, por ello cuando en el texto de un problema sólo se indique razón o relación se entenderá que es la geométrica. Ejemplo: La relación entre los pesos de Ana y Eva es de 5 a 7 respectivamente. Esto quiere decir que: ii) Una razón no cambia de valor si el antecedente y consecuente se multiplican o dividen por un mismo número. Así cualquier razón de números racionales se puede expresar de tal manera que ambos términos sean enteros sin ningun factor común (excepto la unidad). Ejemplos: PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. En consecuencia se tiene dos clases de proporciones. 1) Proporción Aritmética : Se forma al igualar dos razones aritméticas. Ejemplo : Sean los siguientes datos: Comprobando mediante la sustracción Interpretación : La velocidad de A excede a la velocidad de B, tanto como la velocidad de C excede a la velocidad de D además, ubicando los términos iguales en un sólo miembro de la igualdad se tiene: 20m/s + 15m/s = 18m/s+17m/s. 35m/s = 35m/s De aquí se tiene el principio fundamental de una proporción aritmética: Dependiendo de los términos medios se tendra: a) Proporción Aritmética Discreta: Cuando los términos medios son diferentes. Ejemplo: b) Proporción Aritmética Continua: Cuando los términos medios son iguales. Ejemplo: 2) Proporción Geométrica : Se forma al igual dos razones geométricas. Ejemplo: Sean los siguientes datos: Comparando mediante la división : Donde: 18 y 10 son los extremos 12 y 15 son los términos medios. Interpretación: La edad de A es a la edad de B, tanto como la edad de C es a la edad de D. Ubicando los términos iguales en un solo miembro de la igualdad se tiene: De aquí se tiene el principio fundamental de una proporción geométrica. Dependiendo de los valores de los términos medios se tendrá: a) Proporción Geométrica Discreta : Cuando los valores de los términos medios son diferentes. Ejemplo: Formando la proporción: b) Proporción Geométrica Contínua : Cuando los valores de los términos medios son iguales. Ejemplo: Formando la proporción : PROPIEDADES DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Al realizar operaciones de adición y sustracción con los términos de una razón en la verificación, estas mismas operaciones se deben realizar con los términos de la otra razón para que la igualdad se mantenga. Ejemplo: En la proporción: observación : Si entonces se cumple: RETROSPECCIÓN : 19 – 10 = 37 – 28...( Proporción aritmética discreta) Donde: 28 es la cuarta diferencial de 19 ; 10 y 37 En general: donde: bc “d” recibe el nombre de cuarta diferencial de “a”, “b” y “c”. ejemplo 1: ¿Cuál será la cuarta diferencial de 18 ; 12 y 23? Resolución : Ejemplo 2: 12 – 10 = 10 – 8 Donde 10 : media diferencial de 12 y 8 8 : tercera diferencial de 12 y 10 En general : “c” es la tercera diferencial de “a” y “b” “b” es la media diferencial de “a” y “c” Ejemplo 3 : ¿Cual es la tercera diferencial de 30 y 23? Resolución : Ejemplo 4 : Calcular la media diferencial de 31 y 13. Resolución : son diferentes. Ejemplo 5 : Donde 20 : Cuarta proporcional de 15;5 y 60 En general: donde: b c “d” es la cuarta proporcional de “a”, “b” y “c” Ejemplo 6 : Calcular la cuarta proporcional de 36;12 y 9 Resolución : Ejemplo 7 : ¿Cuál es la tercera proporcional de 9 y 12? Resolución : Tercera proporcional de 9 y 12 9x = 1212 9x = 144 x = 16 Ejemplo 8 : Determinar la media proporcional de 9 y 25. Resolución : media proporcional de 9 y 25 Þ 9×25=xx (pues “B” es mayor que “A”)

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