Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN INTERSECCIÓN Y DIFERENCIA EXPLICACIONES BÁSICAS PDF

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  • Como en lo anterior estábamos tratando la introducción a la teoría de conjuntos de una manera elemental, es recomendable que el estudiante revise todos los pasos seguidos anteriormente, con la finalidad de familiarizarnos con la notación conjuntista, dicho esto veremos ahora las operaciones fundamentales que existen entre conjuntos Unión o Reunión, Intersección y Diferencia. En otras palabras, vamos a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos “A” y “B”. I) Unión o reunión (): La unión o reunión de conjuntos es otro conjunto que tiene por elementos tanto a los elementos de “A”, de “B” o ambos. Gráficamente (AB), sería. Caso general: Ejemplos: II) La Intersección () : La intersección de 2 conjuntos A y B es otro conjunto que tiene por elementos, a los elementos al de A y de B a la vez. Gráficamente (AB), sería: EJEMPLOS : III) La Diferencia (–) : La diferencia de 2 conjuntos A y B es otro conjunto que tiene por elementos a los elementos que pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B. A – B = {x/xÎA y x B} Gráficamente (A – B), sería: Ejemplos : i) A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 2; 6; 7; 9} A – B = {4; 8} ii) C = {2; 3; 4; 5; 6;} D = {3; 5; 6} C – D = {2; 4} iii) E = {1; 3; 5; 7} F = {2; 4; 6; 8} E – F = {1; 3; 5; 7} IV) La Diferencia Simétrica ( d ) : La diferencia simétrica de 2 conjuntos A y B es otro conjunto que tiene por elementos a los elementos de la reunión de las dos diferencias A – B y B – A ,es decir: A d B = (A – B)(B – A) Gráficamente ( A d B ), sería: Ejemplos : i) A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 2; 6; 7; 9} A d B = {1; 4; 7; 8; 9} ii) C = {2; 3; 4; 5; 6} D = {3; 5; 6} C d D = {2; 4} iii) E = {1; 3; 5; 7} F = {2; 4; 6; 8} E d F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} COMPLEMENTO DE (Ac) El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal “U” pero no al Conjunto “A” Notación: A´ ó Ac Se lee: complemento de A: Ejemplo: Sean los conjuntos: R = {1; 4; 6} P = {2; 4; 6} además: U={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Entonces: R’ = {2; 3; 5; 7} P’ = {1; 3; 5; 7} Gráficamente: En las operaciones: unión, intersección diferencia simétrica se cumple la propiedad conmutativa, es decir: En la diferencia no se cumple, es decir: INTERPRETACION DE REGIONES I) PARA 2 CONJUNTOS : (A – B) Solamente “A” (B – A) Solamente “B” (AB) Común de “A” y“B” (AB)’Zona que no pertenece ni a “A” ni a“B” II) PARA TRES CONJUNTOS [A – (B C)] <> Solamente “A” {B – (A C)} <> Solamente “B” [C – (A B)] <>Solamente “C” (A B C) <> común de los tres Conjuntos “A”, ”B” y “C” (A B C)’ <> Zona que no pertenece a “A”,”B” y “C” [(A B) – C]<>Solamente “A” o “B”, pero no “C” (B C) – A]<>Solamente “B” y “C”, pero no “A” [(A C) – B]<>Solamente “A” y “C”, pero no “B” Problema 1: Determinar por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos: A={1; 2; 3; 4} B ={a; e; i; o; u} C={2; 4; 6; 8; 10} D={1; 4; 9; 16} E = {1; 8; 27; .....} Resolución: Para determinar por comprensión tenemos que buscar una relación común característica a los elementos, por ejemplo, en el primer caso se trata de los números naturales (desde el 1 al 4), en el cuarto caso de los cuatro primeros números naturales al cuadrado ({12 ; 22 ; 32 ; 42}), luego: Problema 2 : Si: A es un conjunto definido por: A={ ; 3 ; 7 ; 8 ; {8}; {5 ; 7} ; {1 ; 3 ; 8}}, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? A) 1 B) 2 C) 8 D) 5 E)6 Resolución: I) , porque en este caso ‘‘’’ es un elemento de A. II) ,porque si . III){5;7}A ,(V) , porque {5;7} es un elemento de A. Con lo que se concluye que hay 6 proposiciones correctas. RPTA : “e” PROBLEMA 3 : Si los conjuntos: A = {3; a – b} y {ab; 54}; son unitarios; calcular: a + b A) 12 B) 15 C) 16 D) 17 E) 20 RESOLUCIÓN : Dado que se trata de conjuntos unitarios; entonces : Tanteando adecuadamente; se deducirá que: a = 9 y b = 6 Se pide: a + b = 9 + 6 = 15 RPTA : “b” PROBLEMA 4 : Se dan los siguientes conjuntos iguales: A = {3a – 8; 44} B = {10; ba – 20} Calcular : ab A) 22 B) 32 C) 40 D) 80 E) 36 RESOLUCIÓN : Como se trata de conjuntos iguales, luego: I) 3a – 8 = 10 3a = 18 a = 6 II) 44 = ba – 20 ba = 64 Remplazando: b6 = 64 = 26 a = 6 b = 2 entonces: ab = 62 = 36 RPTA : “e” PROBLEMA 5 : Si: A = {x/x2 – 23x + 120 = 0} ¿Cuántos subconjuntos tiene? A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 RESOLUCIÓN : Transformando a extensión: A = {15; 8} B = {9; 11; 13; 15} C = {0; 3; 8; 15} Luego: A – B = {8} y (A – B) C = {0; 3; 8; 15} n [(A – B) C] = 4 elementos Número de subconjuntos: 24 = 16 RPTA : “b” PROBLEMA 6 : Si: U = {1; 2; 3; 4; 5;…; 200} A = {n/x es divisor de 625} B = {m/m es divisor de 155} Calcule n[(A B)´] A) 4 B) 9 C) 193 D) 81 E) 71 RESOLUCIÓN : Determinando por extensión, Así: A = {1; 5; 25; 125; 625} B = {1; 5; 31; 155} (A B) = {1; 5; 25; 31; 125; 155; 165} n(A B) = 7 pero: n (A B)´] = n( ) – n( A B) n[(A B)´] = 200 – 7 = 193 RPTA : “c” PROBLEMA 7 : Si: A = {1; 2; 3} ; B = {2; x; 4} y A B = {2; x} Calcule la suma de sus cuadrados de los valores que puede tomar “x” A) 4 B) 6 C) 9 D) 10 E) 14 RESOLUCIÓN : Analizando la intersección. Se observa que x puede tomar tres valores: La suma de los cuadrados: 12 + 22 + 32 = 14 RPTA : “e” PROBLEMA 8 : En una aula hay 60 alumnos de los cuales a 7 no les gusta ni geometría ni aritmética y a 35 les gusta sólo aritmética ¿Cuántos les gusta geometría, si a los que le gusta ambos cursos son 10? A) 18 B) 10 C) 8 D) 9 E) 12 RESOLUCIÓN : Luego de hacer el diagrama, empezamos a colocar datos por a la intesección (región común a ambos conjuntos) , es decir. Se observa x + 10 + 35 + 7 = 60 x=8 RPTA : “c” PROBLEMA 9 : En una encuesta realizada a 160 personas, 94 tienen refrigeradora,112 tienen cocina a gas y 10 no tienen ninguno de los artefactos mencionados. ¿Cuántos tienen cocina a gas solamente? A) 40 B) 38 C) 20 D) 56 E) 19 RESOLUCIÓN : Realizando el diagrama se obtendrá: De donde se deduce que: x + 94 + 10 = 160 x = 56 Luego los que tienen cocina a gas solamente serán: 56 RPTA : “d” PROBLEMA 10 : Diana realiza un viaje durante todo el año a Cusco o Tacna. Si 8 viajes fueron al Cusco y 11 viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visitó ambos lugares? A) 7 meses B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 RESOLUCIÓN : Graficando: De la cual utilizando, el total (12 meses), se obtendrá: 8 – x + x + 11 – x = 12 19 – 12 = x x = 7 RPTA : “ a” PROBLEMA 11 : LILIN tomó avena y/o café en su desayuno cada mañana durante un mes de verano, que posee el menor número de días en el año 2000, si tomo avena 23 mañanas, y 17 mañanas tomo café ¿Cuántos día tomó avena y café? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 RESOLUCIÓN : Como el año 2000 fue bisiesto, luego el mes con el menor número días, será febrero, el cual tiene 29, días, luego se tendrá que: De donde se observa, que: 23 – x+x +17– x=29 40 – 29 = x x = 11 RPTA : “ a” PROBLEMA 12 : En un salón de clase de 100 alumnos, hay 10 hombres provincianos, hay 40 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos hombres hay en el aula? A) 20 B) 25 C) 30 D) 45 E) 32 RESOLUCIÓN : Realizando un diagrama de Carroll: Ahora consideremos el total el total, plantearemos: 10+x + (x +10) + 40 = 100Þx=20 Luego el número de hombres, será: 10 + x = 10 + 20 = 30 RPTA : “c” PROBLEMA 13 : En una fiesta hay 80 personas de las cuales 30 son varones. Si 25 mujeres fuman y 40 personas no fuman. ¿Cuántos varones fuman? A) 12 B) 13 C) 15 D) 20 E) 17 RESOLUCIÓN : Por los diagramas de Carroll. Tenemos: De acá se deduce que: x + 25 = 40x = 15 RPTA : “c ” PROBLEMA 14 : De 162 vendedores ambulantes, 60 venden camisas y blusas, 40 camisas y pañuelos, 50 blusas y pañuelos, 42 venden solo una clase de dichas prendas. ¿Cuántos ambulantes venden por lo menos tres tipos de prendas mencionadas? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 RESOLUCIÓN : Dato: x + y + z = 42 Luego; considerando el total: RPTA : “ A” PROBLEMA 15 : En un barrio donde hay 29 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la bodega ,18 en el supermercado, 5 en los dos últimos sitio únicamente, y 7 en el primero y el último únicamente. ¿Cuál es el número de personas que compran solamente en el mercado?.(Todos compran ) A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN : Graficando se tiene: Como no indica la cantidad de personas que no consumen en los lugares mencionados. Como todos compran , entonces se cumple : Total = 16 + (4 – x) + 5 +(6 – x) = 29 31 – 2x = 29 x = 1 Luego los que compran solo en el mercado, serán: 3 – x = 3 – 1 = 2 RPTA : “A”

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