LÓGICA PROPOSICIONAL REGLAS Y EXPLICACIONES BÁSICAS PDF
Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones y la relación existente entre ellas, así como la función que tienen los conectivos lógicos.
Proposición lógica :
Es aquella expresión u oración coherente que puede calificarse o bien como verdadero (V) o bien como falso (F) y sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas generalmente se denotan con letras minúsculas, tales como: p, q, r, s, ..., etc.
EjemploS:
p : 7 + 5 = 8
q : Todo hombre es mortal.
r : 14 es un número primo.
Las preguntas, mandatos, exclamaciones, deseos, etc. NO son proposiciones lógicas ya que no se pueden calificar como verdaderas (V) o falsas (F). Ejemplo: ¿Cómo te llamas? Buenos días ¡Haz tu tarea! Negación de una proposición : Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una proposición. Si la proposición es "p", su negación se denota por "~p" y se lee: "no p" o "es falso que p". Las diferentes posibilidades las podemos esquematizar en una tabla, denominada Tabla de verdad. Ejemplo: p : 6 es un número par. ~p: 6 no es un número par. Conectivos lógicos : Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada a veces proposición molecular. Ejemplos: Los conectivos lógicos empleados son: I) Disyunción : (se simboliza: “Ú", se lee: "o") Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra "o", para formar una nueva proposición llamada disyunción de ambas. La disyunción de las proposiciones "p o q" se denota: p Ú q. Ejemplo: II) Conjunción : (se simboliza: "Ù", se lee: "y") Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra "y" para formar una nueva proposición llamada conjunción de ambos. La conjunción de las proposiciones "p y q" se denota: p Ù q. Ejemplo: Las palabras “sin embargo”, “pero”, “además”, “también”, “incluso”, “no obstante”, “aunque”, “así mismo”, “tanto... como”, etc, equivalen al conectivo lógico y. III) Condicional : (se simboliza por: "®", se lee: "si ...entonces...") Muchas proposiciones, especialmente matemáticas, son de la forma "si p entonces q". Tales proposiciones se denominan condicionales y se les denota por: p ® q. A la proposición "p" se le denomina "antecedente" y a "q" "consecuente". Ejemplo: Las palabras “por consiguiente”, “de modo que”, “por lo tanto”, “en consecuencia”, “luego”, “dado que”, equivalen al conectivo condicional. IV) Bicondicional : (simbolizada por: "«", se lee: "si y sólo si") Es aquel conectivo que al enlazar "p" con "q" se denota "p « q" y se lee: "p si y sólo si q". Ejemplo: las palabras “cuando y sólo cuando”, “entonces y sólo entonces”, etc, equivalen al conectivo lógico “si y sólo si”. V) Disyunción exclusiva : (Se simboliza: "D", se lee: “o ... o ...”) Ejemplo: Proposiciones compuestas Utilizando conectivos lógicos se puede combinar cualquier número finito de proposiciones; para obtener otras, denominados proposiciones compuestas. Ejemplos: (pq)(ps) (pq)(tr) Tautología, Contradicción y Contingencia Tautología : Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero (V), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes, se le denota por "V". Ejemplo: La proposición: p ® (p Ú q)es una tautología, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. Entonces: p ® (p Ú q) = V Contradicción : Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre falso (F), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por “F”. Ejemplo: La proposición: (p Ù q) Ù ~q es una contradicción, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. Entonces: (p Ù q) Ù ~q = F Contingencia : Es toda proposición lógica cuyo valor de verdad tiene al menos un verdadero (V) y un falso (F). Ejemplo: La proposición (p Ú q) ® ~p es una contingencia tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. Implicación lógica : Se denomina así a toda condicional p ® q que sea una tautología y en tal caso la condicional se denota por p Þ q. Equivalencia lógica : Se denomina así a toda bicondicional pq que sea una tautología y en tal caso la bicondicional se denota por p Û q. Álgebra de proposiciones Son equivalencias lógicas que nos permiten simplificar un problema y expresarlo en forma más sencilla. Las demostraciones se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso. Principales leyes: I) Ley de Idempotencia : p Ú p º p p Ù p º p II) Ley Conmutativa : p Ú q º q Ú p p Ù q º q Ù p III) Ley Asociativa (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) (p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r) IV) Ley Distributiva : p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r) p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r) V) Ley de la Doble Negación : ~ (~p) º p VI) Leyes de Identidad : p Ú V º V; p Ú F º p p Ù V º p; p Ù F º F VII) Leyes del Complemento : p Ú ~p º V p Ù ~p º F VIII) Ley del Condicional : p ® q º ~p Ú q IX) Ley del Bicondicional : p « q º (p ® q) Ù (q ® p) p « q º (p Ù q) Ú (~p Ù ~q) X) Ley de Absorción : p Ù (p Ú q) º p p Ú (p Ù q) º p p Ù (~p Ú q) º p Ù q p Ú (~p Ù q) º p Ú q XI) Leyes de Morgan : ~(p Ú q) º ~p Ù ~q ~(p Ù q) º ~p Ú ~q Función proposicional Es aquel enunciado que contiene una variable y que tiene la propiedad de convertirse en verdadero o falso para cierto valor de la variable. Las funciones proposicionales se pueden representar por: p(x), q(x), r(x), etc., donde "x" sería la variable. Ejemplos: p(x) : x – 2 > 18 q(x) : x2 + 4 = 16 r(x) : “x” es un número primo Si en la primera función proposicional p(x) a "x" le damos diferentes valores tendremos: para: x = 10 ® p(10): 10 – 2 > 18 8 > 18 (F) para: x = 23 ® p(23): 23 – 2 > 18 21 > 18 (V) Como puede verse, dependiendo del valor de la variable podemos obtener resultados diferentes. Cuantificador Universal : Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión "para todo x", estaremos indicando el sentido universal de dicha función proposicional, obteniéndose ahora una proposición lógica. Notación: Se lee: "para todo x, tal que, se verifique P(x)". Ejemplo: Si tenemos una función proposicional: P(x): x + 5 > 2 [no es proposición lógica] y ahora le agregamos el cuantificador universal """. "x: P(x) "x: x + 5 > 2 [proposición lógica] tendremos una proposición lógica, cuyo valor es falso, por que no todos los valores de "x" cumplirán la proposición, por ejemplo: para x = – 4, no se cumple. Entonces es falso que para todo "x", se cumpla: x + 5 > 2 Cuantificador Existencial : Si a una función proposicional, le anteponemos la expresión "existe un x tal que", estaremos indicando el sentido existencial (que exista) de dicha función: Notación: Se lee: "existe un x, tal que, se verifique p(x)". "existe por lo menos un x, tal que, se verifique p(x)". "al menos un x, verifica p(x)". Ejemplo: p(x): x – 3 > 10 [función proposicional] $x: p(x) $x: x – 3 > 10 [proposición lógica] Para verificar que es una proposición lógica, podemos darnos cuenta que si: x = 15, se cumple la desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos un "x", que verifique p(x), por lo tanto es una proposición lógica, cuyo valor es verdadero. Negación de proposiciones que tienen cuantificadores Sea la proposición "x: p(x) su negación será: De la misma forma, si tenemos la proposición $x: p(x) su negación será: Ejemplos: $x: x = 7 ~[$x: x = 7] = "x: x ¹ 7 $x: "x" es un número par. ~[$x: x es un número par] = "x: "x" no es un número par. "x: x2 >1 ~["x: x2 > 1] = $x: x2 £ 1 Circuitos lógicos El valor de verdad de una proposición puede asociarse con interruptores que controlan el paso de la corriente. Así si una proposición es verdadera, el interruptor estará cerrado y la corriente pasará. Si la proposición es falsa, el interruptor estará abierto y la corriente no pasará. Los interruptores pueden estar en serie o paralelo: EquivalenciaLógica Serie : p Ù q Paralelo : p Ú q Mixto : (p Ù q) Ú (~r)
