Aritmética problemas resueltos de secundaria y pre universidad

ANÁLISIS COMBINATORIO REGLAS Y EXPLICACIONES BÁSICAS PDF

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  • Es la parte de la matemática que estudia el ordenamiento de las cosas o elementos Principios fundamentales del conteo I) Principio de adición : Si una actividad "A" ocurre de "M" maneras y otra actividad "B" ocurre de "n" maneras, entonces la actividad A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de (m + n) maneras. En este principio, la ocurrencia no es simultánea es decir ocurre la actividad "A" o la actividad "B", pero no ambos a la vez. Este principio se puede generalizar para más de dos actividades. Ejemplo 1 : Greys puede viajar de Lima a Huancayo por vía aérea o por vía terrestre, tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? Resolución: Greys viajará a Huancayo o bien por vía aérea o vía terrestre, nunca por ambas vías a la vez Ejemplo 2 : ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado legal o una moneda? Resolución En moneda: Þ {cara o sello} = 2 resultados En el dado: Þ{1; 2; 3; 4; 5 ó 6} = 6 resultados Al lanzar un dado o una moneda se obtiene 6 + 2 = 8 resultados diferentes. ii) Principio de multiplicación : (Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si una actividad A ocurre de "m" maneras y para cada una de estas actividades, otra actividad B ocurre de "n" maneras entonces la actividad A seguido de la actividad B, ocurre de "m×n" maneras. En este principio, la ocurrencia es una a continuación de la otra, es decir ocurre la actividad "A" y luego ocurre la actividad "B". Este principio se puede generalizar para más de dos actividades. Ejemplo 3 : Lila puede viajar de Tumbes a Lima por 3 caminos diferentes, y de Lima a Tacna por 2 caminos diferentes. ¿Por cuántos caminos diferentes puede viajar de Tumbes a Tacna pasando por Lima? Resolución: Total de caminos: 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B = 6 caminos diferentes. Por cada camino de Tumbes a Lima hay 2 caminos de Lima a Tacna. Por lo tanto se puede calcular también así: 3×2 = 6 caminos. Ejemplo 4 : ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener en el lanzamiento simultáneo de un dado legal y una moneda? Resolución: Cada resultado en la moneda se puede combinar con todos los resultados del dado. Por lo tanto el total de resultados será: 2×6 = 12 Ejemplo 5 : Erika tiene a su disposición 4 blusas y 3 pantalones y 2 pares de zapatos todos de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse correctamente usando dichas prendas? Resolución: Cada blusa puede combinarse con cada uno de los pantalones y estos a su vez con cada par de zapatos. PERMUTACIÓN Una permutación es un arreglo de objetos de un conjunto en un orden particular. En una permutación si interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar tres casos: Permutación lineal : Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. Ejemplo 6 : ¿De cuántas maneras diferentes se puede ubicar en fila 5 amigas? Resolución: Sean las amigas: A, B, C, D y E y P1, P2, P3, P4 y P5, los lugares a ubicarse. Entonces el lugar P1, lo pueden ocupar cualquiera de las 5 amigas, para el lugar P2 habrían solo 4 amigas disponibles, para el lugar P3, cualquiera de las 3 restantes y así sucesivamente. Así tenemos: Luego en general : Se aplicará cuando intervienen todos los elementos a la vez. Ejemplo 7 : ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en fila 6 amigas (Marisol, Jessica, Norma, Natalie, Analia y Evelyn). Si Natalie, Evelyn y Norma estarán siempre juntas? Resolución: Entonces será una permutación de 4 elementos: P4 = 4! = 24; pero internamente y sin separarse las 3 amigas que están juntas podrán cambiar de lugar, y lo harán de: P3 = 3! = 6 maneras. Luego el número de maneras diferentes que podrán ordenarse estas 6 amigas estará dado por: P4×P3 = 24×6 = 144 Ejemplo 8 : ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 6 personas en una banca con capacidad solo para 4 personas, si 2 siempre estarán a la espera? RESOLUCIÓN : Luego en general : Se aplicará cuando no intervienen todas las personas a la vez. Permutación circular PCn = (n – 1)! Ejemplo 9 : ¿De cuántas maneras diferentes 4 amigos se podrán ubicar alrededor de una mesa circular? RESOLUCIÓN : Se toma un lugar como punto de referencia, eso implica que a los otros tres lugares se les tomará como si fuese una permutación lineal. PC4 = (4 – 1)! = 3! = 6 Ejemplo 10 : ¿De cuántas maneras diferentes 6 amigos se ubicarán alrededor de una mesa circular, si Juan y José estarán siempre juntos? RESOLUCIÓN : Permutación con elementos repetidos donde: a, b, q, ... , son las veces que se repiten un mismo elemento en un mismo grupo. Ejemplo 11 : ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra CARRETA, sin importar que las palabras tengan o no sentido? RESOLUCIÓN : CARRETA tiene 7 letras (7 elementos) donde la letra "A" se repite 2 veces y la letra "R" se repite también 2 veces entonces: Ejemplo 12 : Federico tiene 7 banderas del mismo tamaño y modelo (2 blancas, 2 rojas y 3 azules) ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer, si las iza todas a la vez en un mismo mástil? RESOLUCIÓN : Combinación La selección de un grupo de objetos de un conjunto sin tener en cuenta el orden en el que estos son elegidos es llamada combinación donde: 0 < m £ n Ejemplo 13 : ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar 2 alumnos de un total de 5 alumnos? RESOLUCIÓN : Seleccionar a María y a José es lo mismo que seleccionar a José y a María; nos damos cuenta que no interesa el orden en que estos personajes fueron seleccionados, luego decimos que: COMBINACIONES CON REPETICIÓN Combinaciones con repetición de ‘‘n’’ elementos de orden ‘‘r’’, son todas las agrupaciones de un número r de elementos con repetición de un conjunto de n objetos (sin restricciones de ‘‘r’’ respecto de ‘‘n’’). Propiedad : El número de combinaciones con repetición de ‘‘n’’ elementos de orden ‘‘r’’, denotado por , está dado por: Ejemplo 1 : ¿Cuántas agrupaciones de dos elementos se pueden formar con las letras: A , B , C y D, si se permite repeticiones? Resolución : El problema es una combinación con repetición. El número de maneras en que se pueden formar agrupaciones de dos letras con repetición es: Estas agrupaciones son: AA , AB , AC , AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD. Ejemplo 2 : ¿De cuántas formas podemos distribuir 4 caramelos idénticos entre 3 niños? Resolución : El problema es una combinación con repetición. Entonces el número de maneras en que podemos distribuir los 4 caramelos entre los 3 niños es:

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